专题40 空间向量及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版.docx

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专题40空间向量及其应用（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 4

【考点突破】 5

【考点1】空间向量的运算及共线、共面定理 5

【考点2】空间向量的数量积及其应用 7

【考点3】利用空间向量证明平行与垂直 9

【分层检测】 12

【基础篇】 12

【能力篇】 15

【培优篇】 16

考试要求：

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.

6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知识梳理

知识梳理

1.空间向量的有关概念

名称

定义

空间向量

在空间中，具有大小和方向的量

相等向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量

共线向量

(或平行向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb(b≠0，λ∈R)

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0(a≠0，b≠0)

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))

夹角

〈a，b〉(a≠0，b≠0)

cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2

l1∥l2

u1∥u2?u1＝λu2

l1⊥l2

u1⊥u2?u1·u2＝0

直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n

l∥α

u⊥n?u·n＝0

l⊥α

u∥n?u＝λn

平面α，β的法向量分别为n1，n2

α∥β

n1∥n2?n1＝λn2

α⊥β

n1⊥n2?n1·n2＝0

1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

4.在利用e