2024—2025学年上海市大同中学高三上学期开学摸底考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市大同中学高三上学期开学摸底考试数学试卷

一、填空题

(★★)1.不等式的解集为__________.

(★)2.为虚数单位，若复数，则__________.

(★★)3.的二项展开式中的常数项为______.

(★★)4.双曲线的离心率为2，则___________

(★★)5.设，若抛物线的焦点为坐标原点，则__________.

(★★★)6.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为__________.（回归系数精确到0.01）

广告费用（万元）

30

26

21

17

11

18

13

16

17

23

25

29

销售额（万元）

843

725

621

587

485

608

523

554

600

703

728

792

(★★★)7.设，若，则__________.

(★★★★)8.在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________.

(★★★)9.将由曲线、、所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为，则该旋转体的体积为__________.

(★★★)10.某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______.

(★★★)11.如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________.

(★★★)12.已知三角形的面积为，，，则______.

二、单选题

(★★)13.事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)14.已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（）

A．8

B．9

C．10

D．11

(★★★)15.经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（）

A．0条

B．1条

C．2条

D．3条

(★★★★)16.如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题

(★★★)17.已知函数其中，,

（1）若求的值；

（2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数.

(★★★)18.如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P位置，且，M为PB的中点，N是线段BC上的动点.

(1)求证：平面平面PBC；

(2)当三棱锥与四棱锥的体积之比为时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值.

(★★★)19.某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.

(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；

(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值.

(★★★★★)20.已知双曲线的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点.

(1)求点M到的两条渐近线的距离之积；

(2)求经过点Q的双曲线的切线方程；

(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：.

(★★★★★)21.设，已知函数的解析为.

(1)当时，求函数的最小值；

(2)证明当时函数至多有两个零点；

(3)如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数