2023年北京市初三一模数学试题汇编：解直角三角形及其应用.docx

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2023北京初三一模数学汇编

解直角三角形及其应用

一、解答题

1．（2023·北京朝阳·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若，且，则称点Q为点P关于点C的“k—关联点”．已知点，的半径为r．

(1)①在点中，是点A关于点O的“1—关联点”的为；

②点B关于点O的“—关联点”的坐标为；

(2)点P为线段上的任意一点，点C为线段上任意一点（不与点B重合）．

①若上存在点P关于点O的“—关联点”，直接写出r的最大值及最小值；

②当时，上不存在点P关于点C的“k—关联点”，直接写出k的取值范围：．

2．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的长．

3．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分．

(1)求证：四边形是菱形：

(2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长．

4．（2023·北京顺义·统考一模）给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”，例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”．

在平面直角坐标系中．

(1)已知点，在，，，中，_____是线段关于点O的“完美点”；

(2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长；

(3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长．

5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，是的外接圆，AB是直径，，且．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的半径．

6．（2023·北京丰台·统考一模）如图，是的直径，，是的两条弦，，过点D作的切线交的延长线于点E．

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

7．（2023·北京平谷·统考一模）如图，是的直径，C、D是上的两点，且，过点D作的切线交的延长线于点E．

(1)求证：；

(2)连接．若，，求的长．

8．（2023·北京通州·统考一模）已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长到点F，使得，连接．

(1)求证：四边形是菱形

(2)如果，且，求的长．

9．（2023·北京海淀·统考一模）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，交的延长线于点E．

(1)求证：直线为的切线；

(2)延长交于点F．若，求的长．

10．（2023·北京西城·统考一模）如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E．

(1)求证：；

(2)若，，求线段的长．

参考答案

1．(1)①D；②或；

(2)①3，；②

【分析】（1）①在坐标系中描出对应的点，再根据“k—关联点”的定义逐一判断即可；

②设点B关于点O的“—关联点”为T，由题意得，，则点T一定在x轴上，再求出的长即可得到答案；

（2）①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”，过点O作于H，根据定义可得，则当最大时，最大，即的半径r最大，当最小时，最小，即的半径r最小，当点P与点B重合时，最大，点P与点H重合时，最小，据此求解即可；②假设C、P都为定点，那么k值越小，越大，因此总存在一个特定的值t使得当时，点Q恰好在上，当，点Q一定在圆内，则当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”，那么就要保证当最大时，此时即可；当点C与点B重合，点P与点A重合时，此时取得临界最大值，如图所示，连接，过点O作交延长线于H，通过解直角三角形和勾股定理求出，则当时满足题意，由于点C不与点B重合，则上述临界情况也符合题意，即可得到．

【详解】（1）解：①由题意得，如果一个点M是点A关于点O的“1—关联点”，则，

如下图坐标系中，只有点D和点E满足，

又∵，，

∴只有点D是点A关于点O的“1—关联点”，

故答案为：D；

②解：设点B关于点O的“—关联点”为T，

由题意得，，

∴点T一定在x轴上，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵点T在x轴上，

∴点T的坐标为或；

故答案为：或；

（2）解：①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”，过点O作于H，

由题意得，，

∴，

∴当最大时，最大，即的半径r最大，当最小时，最小，即的半径r最小，

∵点P在线段上运动，

∴当点P与点B重合时，最大，点P与点H重合时，最小，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

②设点P关于点C的“k—关联点”为Q，

∴，且，

∴，

假设C、P都为定点，那么k值越小，越大，因此总存在一个特定的值t使得当时，点Q恰好在上，当，点Q一定在圆内，

∴当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”，那么就要保证当最大时，此时即可；