解析几何中定点、定值、定直线问题.doc

解析几何中定点定值问题

例1椭圆的上顶点为M〔0，1〕，过M的两条动弦MA、MB满足MA⊥MB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。

解：由知，从而直线与坐标轴不垂直，

故可设直线的方程为，直线的方程为

将代入椭圆的方程，整理得

解得或，故点A的坐标为

同理，点B的坐标为

知直线的斜率为=

直线的方程为，即

直线过定点

例2一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点．

〔1〕求点的坐标；

〔2〕求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

〔3〕设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？假设存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；假设不存在，请说明理由．

例3椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.

〔1〕求椭圆的离心率；

〔2〕设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

〔I〕解：设椭圆方程为

那么直线AB的方程为

化简得.

令

那么

共线，得

〔II〕证明：由〔I〕知，所以椭圆可化为.

在椭圆上，

即①

由〔I〕知

又又，代入①得

故为定值，定值为1.

例4设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.

高二数学作业〔13〕

1.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，那么的值为______．8

2.是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，=______

3.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角θ，使．那么直线与的斜率之积为.

4.如图，是平面的斜线段，为斜足，假设点在平面内运动，使得的面积为定值，那么动点的轨迹是ABP〔第4题〕椭圆

A

B

P

〔第4题〕

5.在平面直角坐标系中，双曲线.椭圆.假设M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.

解：当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，那么O到直线MN的距离为.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为〔显然〕，那么直线OM的方程为.

由，得，所以.同理.设O到直线MN的距离为d，因为，

所以，即d=.

综上，O到直线MN的距离是定值.

6.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：假设点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

证明：直线的斜率为，直线的斜率为,

那么直线的方程为，

==，

所以直线过定点．

7.椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为

〔1〕求椭圆的方程；

〔2〕设垂直于轴的直线交椭圆于，两点，试求面积的最大值；

〔3〕过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点.

高二数学教学案〔13〕

例1椭圆的上顶点为M〔0，1〕，过M的两条动弦MA、MB满足MA⊥MB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。

例2一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点．

〔1〕求点的坐标；

〔2〕求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

〔3〕设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？假设存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；假设不存在，请说明理由．

例3椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.

〔1〕求椭圆的离心率；

〔2〕设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

例4设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.

高二数学作业〔13〕

1.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，那么的值为______．

2.是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，=______

3.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角θ，使．那么直线与的斜率之积为.

4.如图，是平面的斜线段，为斜足，假设点在平面内运动，使得的面积为定值，那么动