力学中的数值方法题库基础版.docx

方程求根的迭代法

1.试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：

（1），

（2），

【解】 （1）设，则，牛顿迭代公式：

，迭代计算过程见下列表。

k

xk

|xk-xk-1|

0.0001

k

xk

|xk-xk-1|

0.0001

1

1.88889

0.11111

N

3

1.87939

0.00006

Y

2

1.87945

0.00944

N

因为，所以。

（2）设，则，牛顿迭代公式：

，迭代计算过程见下列表。

k

xk

|xk-xk-1|

0.0001

k

xk

|xk-xk-1|

0.001

1

0.26894

0.73106

N

3

0.25753

0.00014

N

2

0.25739

0.01155

N

4

0.25753

0.00000

Y

因为，所以。

3.建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。

解：牛顿迭代格式为：

令，因为当时，，

故对于任何满足，

即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。

4.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。

解：

y次迭代公式

k

0

1

2

3

3.5

3.64

3.63

3.63

6.用牛顿法求解方程的解，，收敛精度

7.用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根，要求。

解:因为

所以有，相应的迭代公式为

取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：

k

0

1

2

3

xk

2

1.8889

1.8795

1.8794

因为,符合计算的精度要求,所以

。

插值部分

已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010，利用拉格朗日型插值二次多项式求lg12的近似值

【解】f(x)=lgx,f(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010

设x0=10,x1=15,x2=20,y0=1,y1=1.1761,y2=1.3010

则插值基本多项式为：

l0(x)=(x-15)(x-20)/(10-15)(10-20)=(x-15)(x-20)/50

l1(x)=(x-10)(x-20)/(15-10)(15-20)=-(x-10)(x-20)/25

l2(x)=(x-10)(x-15)/(20-10)(20-15)=(x-10)(x-15)/50

于是，拉格朗日二次插值多项式为：

P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)=(x-15)(x-20)/50-1.1761(x-10)(x-20)/25+1.3010(x-10)(x-15)

P1(12)=-(12-10)(12-20)/50-1.1761(12-10)(12-20)/25+1.3010(12-10)(12-15)=1.0766

2、（p.55，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）；

（2）

【解】依题意，，拉格朗日余项公式为

（1）→；

（2）因为，所以

3、（p.56，习题33）设分段多项式

是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.

【解】依题意，要求S(x)在x=1节点

函数值连续： ，

即：

一阶导数连续： ，

即：

解方程组（1）和（2），得，即

由于，所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。

4、已知函数的一组数据，和，（1）求其分段线性插值函数；

（2）计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得

；

（2），而 ，实际误差为：。

由,可知，则余项表达式

5.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,

试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差

解：线形插值：取

=0.7410

抛物线插值：

=0.742

6.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值

解：解：取

=

8.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值

0.4

0.5

0.6

0.7

0.38942

0.47943

0.56464

0.64422

解：前插：取节点：0.50.60.7

0.5

0.47943

0.6

0.56464

0.08521

0.7

0.64422

0.07958

-0.00563

(0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815