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弹性力学优化算法：蚁群算法(ACO)：弹性力学基础理论

1弹性力学基础

1.1dir1.1:应力与应变的概念

1.1.1应力与应变的概念

在弹性力学中，应力（Stress）和应变（Strain）是两个核心概念，它们描

述了材料在受力作用下的行为。

应力定义为单位面积上的内力，通常用符号σ表示。在三维空间

中，应力可以分为正应力（σ）和剪应力（τ）。正应力是垂直于材料表

面的应力，而剪应力则是平行于材料表面的应力。应力的单位是帕斯卡

（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）或千帕（kPa）表示。

应变是材料在应力作用下发生的形变程度，通常用符号ε表示。

应变分为线应变（ε）和剪应变（γ）。线应变描述了材料在某一方向上

的伸长或缩短，而剪应变描述了材料在剪切力作用下的形变。应变是一

个无量纲的量。

1.1.2胡克定律与材料属性

胡克定律（Hooke’sLaw）是描述应力与应变之间线性关系的基本定律，

适用于弹性材料。胡克定律的数学表达式为：

⋅

=

其中，σ是应力，ε是应变，E是材料的弹性模量（Young’sModulus），

它反映了材料抵抗弹性形变的能力。弹性模量的单位也是帕斯卡（Pa）。

材料的泊松比（Poisson’sRatio）是另一个重要属性，它描述了材料在某

一方向受力时，垂直于该方向的形变与沿受力方向的形变的比值。泊松比通常

用符号ν表示，其值在0到0.5之间。

1.2dir1.2:弹性体的平衡方程

1.2.1弹性体的平衡方程

弹性体在受力作用下，其内部各点必须满足静力平衡条件。在三维空间中，

弹性体的平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

1

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，σ_x,σ_y,σ_z是正应力，τ_{xy},τ_{yz},τ_{xz}是剪应力，f_x,f_y,

f_z是作用在弹性体上的体力（如重力）在x,y,z方向上的分量。

1.2.2边界条件与约束

在解决弹性力学问题时，边界条件和约束是必不可少的。边界条件可以分

为位移边界条件和应力边界条件。

位移边界条件指定弹性体边界上的位移或位移的导数（如斜率）。

应力边界条件指定弹性体边界上的应力或应力的导数。

约束则限制了弹性体的自由度，例如，固定端约束意味着在该点的位移为

零。

1.3dir1.3:弹性力学中的能量原理

1.3.1弹性力学中的能量原理

能量原理在弹性力学中用于求解结构的平衡状态。其中，最小势能原理是

最常用的一种，它指出，在静力平衡状态下，结构的总势能（内部应变能加上

外部势能）达到最小值。

1.3.2变分法在弹性力学中的应用

变分法是求解能量原理问题的数学工具。在弹性力学中，变分法用于求解

最小势能原理下的平衡方程。变分法的核心是寻找使泛函（如总势能）达到极

值的函数。

例如，考虑一个弹性杆在轴向力作用下的问题，其总势能泛函