吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷.docx

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吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A．0,2 B．0,2

C． D．

2．已知，则（????）

A． B． C． D．

3．已知角的终边经过点，则（????）

A． B． C． D．

4．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（????）

A．函数有两个零点

B．当时，

C．的解集是

D．，，使得

6．定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

7．已知，，，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

8．若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

二、多选题

9．若，则下列不等式成立的是（????）

A． B．

C． D．

10．已知，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．若，

11．定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（????）

A．

B．

C．函数的所有零点之和为5

D．

三、填空题

12．已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为.

13．已知函数，，则实数a的值为.

14．对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为.

四、解答题

15．已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

16．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的最大值与最小值.

17．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?

18．已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间与极值；

(2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围.

19．对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的.当正整数n无限大时，若无限接近于常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记为.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.

(1)证明：对任意的，，恒成立；

(2)已知数列，的通项公式为：，，.

（i）判断数列，的单调性与有界性，并证明；

（ii）事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为.证明：对任意的，恒成立.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

D

D

B

B

C

AC

BCD

题号

11

答案

ABD

1．C

【分析】根据不等式解法求集合，进而求交集.

【详解】由题意可得：，

，

所以.

故选：C.

2．B

【分析】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案.

【详解】由于，故.

故选：B

3．A

【分析】根据三角函数的定义计算．

【详解】，，

所以，

故选：A．

4．D

【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可.

【详解】由题意可知：的定义域为，且，

若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根，

则，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：D.

5．D

【分析】对于A：当时，令，解得，结合奇函数性质分析判断；对于B：根据奇函数定义求解析式；对于C：分析、和三种情况解不等式即可；对于D：根据解析式以及奇函数性质分析的值域，即可得判断.

【详解】对于选项A：当时，，

令，则，解得，

又因为函数是定义在R上的奇函数，则也为函数的零点，

当时，由奇函数性质可知，

所以函数有三个零点，故A错误；

对于选项B：若，则，

由奇函数定义可得，故B错误；

对于选项C：当时，，

令，且，可得，解得；