第一章-函数的连续性.ppt

函数的连续性

一、函数的连续性

为了以后学习研究微积分，我们需要引入性

质更好的一类函数，即所谓的连续函数.本课程所

研究的函数，基本上都是连续函数.

连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，

这方面的实例可以举出很多，如水的连续流动、身

高的连续增长、物体运动的路程、气温的变化等等.

在建立函数连续性定义之前，我们引入增量的

概念.

关于增量有如下定义：

设变量u从它的初值u0变到终值u1，则

终值与初值之差u1u0就叫做变量u的增量，

又叫做u的改变量，记作u，即uu1u0.

理解增量概念时要注意三点:

增量可以是正的，也可以是负的，

还可以是零。即当u1u0时u是正的，

当u1u0时,u是负的，当u1u0时u

是零.

u是一个完整的记号。变量u可以是自变

量x，也可以是函数y.

如果是x，则称xx1x0为自变量的改变量；

如果是y，则称yy1y0为函数的改变量.

有时为了方便，记

x1x0x，y1y0y

如果函数yf(x)在x0的某个领域

内有定义，当自变量x在点x0处有一改变量

x时，函数y的相应改变量则为

yf(x0x)f(x0)

其几何意义如下图所示

yy

yf(x)

yf(x)

y

y

xx

0x0x0xx0x0x0xx

2.连续的定义

定义1设函数在内有定义,如

f(x)U(x0)

果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函

数的增量y也趋向于零,即limy0或

x0

lim[f(x0x)f(x0)]0,那末就称函数

x0

在点连续,称为的连续点.

f(x)x0x0f(x)

设

xx0x,yf(x)f(x0),

就是就是

x0xx0,y0f(x)f(x0).

2

例1用定义证明y5x3在给定点x0处连续.

证

yf(x0x)f(x0)

22

5(x0x)35x03

2

10x0x5x

2

limylim10x0x5x0

x0x0

2

所以y5x3在给定点x0处连续.

例2证明函数ysinx在区间(,)内连续.

证任取x(,),

xx

ysin(xx)sinx2sincos(x)

22

xx

cos(x)1,则y2sin.这是三角

22函数和差

化积

又因为sin

x

故y2si