人教版九年级数学上册专题6实际问题与二次函数之五大题型（解析版）.docxVIP

专题06实际问题与二次函数之五大题型

图形问题

例题：（2023下·广西·八年级南宁十四中校考期末）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．

????

(1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？

(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．

【答案】(1)；

(2)当的长是12米时，围成的施工区域面积为；

(3)拨款够用．理由见解析

【分析】（1）根据题意可得到S与x的函数关系式为：，自变量x的取值范围是：；

（2）当围成的施工区域面积为时：，解一元二次方程即可求得；

（3）由，结合，利用二次函数的性质即可求得最大面积，以及所需费用，即可判断.

【详解】（1）解：根据题意得：，

，

解得：，

∴S与x的函数关系式为：；

（2）解：由（1）知：，

∵围成的施工区域面积为，

∴，

解得：（舍去）或，

∴当的长是12米时，围成的施工区域面积为；

（3）解：拨款够用．解析如下：

∵，

∵，函数图像的对称轴为直线：，

∴当时，S随x的增大而减小，

∴当时，施工区域有最大面积，

所需费用为，

答：拨款够用．

【点睛】本题是面积问题(二次函数综合)，考查了二次函数的性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．

【变式训练】

1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米．

(1)______米（用含x的代数式表示）；

(2)矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由．

【答案】(1)

(2)最大值为，理由见解析

【分析】（1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长；

（2）把二次函数表达式化成顶点式，再根据二次函数的性质求得结果．

【详解】（1）设篱笆长为x米，

∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，

∴米．

故答案为：；

（2）由题意得

∴对称轴是直线

由题意得

∵，即

∴????????

∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧S随x的增大而减小

∴当x取最小值时，S取最大值

∴时，

【点睛】本题考查了二次函数的应用、列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准数量量关系，正确列出函数解析式，利用二次函数的性质求解．

2．（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带，一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住．设长为x米，绿化带面积为．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？

(3)若墙长是18米，当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？

【答案】(1)，

(2)当时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米

(3)当时，绿化带面积最大，最大面积是平方米

【分析】（1）根据长方形的面积计算公式列函数关系式，利用边长大于零及墙的长度求自变量的取值范围；

（2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值；

（3）先确定自变量的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．

【详解】（1）解：，

∵，

∴；

（2）∵，

∴当时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米；

（3）∵，

∴，

∵，

∴开口向下，对称轴为直线，

∴当时，y随x的增大而减小，

∴当时，绿化带面积最大，最大面积是平方米．

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．

拱桥问题

例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．

(1)该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；

(2)求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．

【答案】(1)(答案不唯一)

(2)75.6m

【分析】（1）根据构建平面直角坐标系时