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4.4对数函数(精讲)
一.对数函数的概念
1.概念:一般地,函数y=logx(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
a
2.概念理解
(1)因为对数函数是指数函数变化而来的,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,所以对数函数的定
义域是(0,+∞),对数函数的底数a0,且a≠1.
(2)形式上的严格性:在对数函数的定义表达式y=logx(a0,且a≠1)中,logx前边的系数必须是1,自变
aa
量x在真数的位置上,否则就不是对数函数.
二.对数函数y=logx(a0,且a≠1)的图象和性质
a
a10a1
图象
定义域(0,+∞)
值域R
性过定点过定点(1,0),即x=1时,y=0
质函数值当0x1时,y0,当0x1时,y0,
的变化当x1时,y0当x1时,y0
单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
三.对数函数图像
两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”,如图.
四.反函数
x
一般地,指数函数y=a(a0,且a≠1)与对数函数y=logx(a0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域和值域
a
正好互换.
一.对数函数的判断
1.系数:对数符号前面的系数为1
2.底数:对数的底数大于0且不等于1
3.真数:对数的真数仅有自变量x
二.定义域
1.分母不能为0;
2.根指数为偶数时,被开方数非负;
3.对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
三.比较对数值大小
1.同底数的利用对数函数的单调性.
2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
3.底数和真数都不同,找中间量.
4.若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
四.y=logf(x)型函数性质
a
1.定义域:由f(x)0解得x的取值范围,即为函数的定义域.
2.值域:在函数y=logf(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logt的单调性确定函数的值域.
aa
3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logt的单调性,根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)
a
4.奇偶性:根据奇偶函数的定义判定.
5.最值:在f(x)0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logt的单调性,最后确定最值.
a
6.logf(x)logg(x)型不等式的解法
aa
(1)讨论a与1的关系,确定单调性;
(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解,且注意真数大于零.
7.两类对数不等式的解法
(1)形如logf(x)logg(x)的不等式.
aa
①当0a1时,可转化为f(x)g(x)0;
②当a1时,可转化为0f(x)g(x).
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