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2025届江西省上饶市私立新知学校高三上学期9月数学检测卷
一、单选题
(★★★)1.定义,不超过的最大整数称为的整数部分,记作,为的小数部分,记作,这一规定最早为数学家高斯所用,因此称为高斯函数,称为小数函数,下列说法正确的是()
A.
B.函数所有零点和为0
C.的值域为
D.是的充要条件
(★★)2.一个大正方体木块的表面积为,将大正方体木块的表面涂上红色颜料,并且分割成若干个棱长为的小正方体木块.若从这些小正方体木块中任取一个,恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为()
A.
B.
C.
D.
(★★★)3.双曲线:的离心率为,实轴长为4,的两个焦点为,.设O为坐标原点,若点P在C上,且,则()
A.2
B.
C.
D.
(★★)4.已知向量,满足,,且,则()
A.
B.
C.2
D.1
(★★★)5.如图,在直三棱柱中,,AC⊥BC,点D是AB的中点,则直线和平面所成角的正切值为()
A.
B.
C.
D.
(★)6.的展开式中的系数为()
A.4
B.-4
C.6
D.-6
(★★★)7.已知数列的前项和为,则()
A.若为等差数列,且,则
B.若为等差数列,且,则
C.若为等比数列,且,则
D.若为等比数列,且,则
(★★★★)8.设,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
二、多选题
(★★★)9.定义域为的函数满足:,当时,,则下列结论正确的有()
A.
B.的图象关于点对称
C.
D.在上单调递增
(★★★)10.如图,在长方体中,,点为线段上动点(包括端点),则下列结论正确的是()
A.当点为中点时,平面
B.当点为中点时,直线与直线所角的余弦值为
C.当点在线段上运动时,三棱锥的体积是定值
D.点到直线距离的最小值为
(★★★★)11.已知椭圆的左?右焦点分别为,左?右顶点分别为,是上异于的一个动点.若,则下列说法正确的有()
A.椭圆的离心率为
B.若,则
C.直线的斜率与直线的斜率之积等于
D.符合条件的点有且仅有2个
三、填空题
(★★★★)12.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,点P是的重心,且,则___________.
(★★)13.抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________.
(★★★★)14.设函数的极值点为,数列满足,若,则_______
四、解答题
(★★★)15.已知集合,非空集合,
(1)若时,求;
(2)是否存在实数,使得是的必要不充分条件?若存在,求实数的取值范围;若不恶在,请说朋理由.
(★★★)16.已知函数(,)在一个周期内的图象如图所示,将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象.
(1)求的单调递增区间;
(2)在中,若,,,求.
(★★★)17.已知双曲线的渐近线方程为,左焦点为F,过的直线为,原点到直线的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的两点C,D,问是否存在实数,使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(★★★)18.甲、乙两人进行围棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分,约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束,并规定:当一方比另一方多3分或比赛满7局时,得分多的一方才算赢.假设在每局比赛中不存在平局,且甲每局获胜的概率为,各局比赛相互独立.已知前3局中,甲胜1局,乙胜2局,两人又打了局后比赛结束.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)求的分布列及期望.
(★★★)19.已知是等差数列,其前项和为是等比数列,已知,是和的等比中项.
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)记,求证:.
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