2025届陕西省西安高新第一中学高三上学期开学考试数学试卷.docVIP

2025届陕西省西安高新第一中学高三上学期开学考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.的虚部为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.在中，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)4.若，则（）

A．100

B．110

C．120

D．130

(★★)5.我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.设，则（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（）

人员

甲

乙

命中环数

A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数

B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差

C．乙试射命中环数的的分位数是

D．事件，互为对立事件

(★★★)10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递减

D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则

(★★★)11.设是等比数列的前n项和，q为的公比，则（）

A．为等比数列

B．为等比数列

C．若，则存在使得

D．若存在使得，则

三、填空题

(★★)12.已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为______．

(★★)13.已知实数，且，则的最小值是_______．

(★★★)14.已知椭圆的左?右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为___________，椭圆的离心率为___________.

四、解答题

(★★★)15.的内角的对边分别为，已知.

(1)求角的值；

(2)若的面积为，求.

(★★★)16.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；

(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？

附：若，则，，；．

(★★★)17.如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点．

(1)证明：平面．

(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值．

(★★★★)18.已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与C交于A，B两点，．

(1)求C的方程；

(2)过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：．

(★★★)19.已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数的最小值为，不等式在上恒