2024-2025学年上海复旦附中高一上学期数学开学考试卷及答案（2024.09）.docx

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复旦附中2024学年第一学期高一年级数学开学考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合________．

2．设高一（5）班全体学生的集合为（中有17名男生，23名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则________．

3．用区间法表示实数集________．

4．已知集合，集合，则________．

5．已知集合，，则________．

6．已知集合、，满足的集合有________个．

7．已知集合中的所有元素之和为1，则实数的取值集合为________．

8．设集合，，若真子集个数为1，则正实数的取值范围为________．

9．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合

是________．

10．设集合，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为________．

11．已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）（2）集合不可能是单元素集（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为________．

12.若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为________．

二、选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）

13．必要的习题训练，也是数学训练的必须。子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合，把有价值的东西看作集合，那么它们的关系是（）

A． B． C． D．

15．已知、为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合对任意，有，集合对任意，有，给定下列四个命题，其中真命题是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

16．已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．

①集合是“完美集”；

②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；

③二元“完美集”有无穷多个；

④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；

上列结论是真命题的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）

17．设，，

（1）求证：；

（2）求证：．

18．设集合，．

（1）当时，求，；

（2）记，若集合的真子集有7个，求：所有实数的取值所构成的集合．

19．学校举办运动会，某班有28人报名参赛，其中15人报名参加游泳比赛，8人报名参加田径比赛，14人报名参加球类比赛，同时报名参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时报名参加田径比赛和球类比赛的有3人，没有人同时报名参加这三项比赛。

（1）求同时报名参加游泳和球类比赛的学生人数；

（2）在只报名参加游泳一项比赛的人中，男生比女生多1人，且男生甲和女生乙都在其中，现从这人中随机选出男女生各1人，求男生甲被选中且女生乙未被选中的概率．

20．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．

（1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）

（2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数。那么称该集合具有性质。对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质．

21．已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分別可表示为：，．

（1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由；

（2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数；

（3）若且，集合，，求：的最小值．