结构力学基础概念：能量法：能量原理与变分原理.pdf

结构力学基础概念：能量法：能量原理与变分原理

1结构力学基础概念：能量法：能量原理与变分原理

1.1绪论

1.1.1能量法在结构力学中的应用

能量法是结构力学中一种重要的分析方法，它基于能量守恒原理，通过计

算结构的总势能或总应变能来求解结构的平衡状态和变形。能量法可以简化复

杂的力学问题，尤其在处理连续介质和非线性问题时，其优势更为明显。在工

程实践中，能量法被广泛应用于结构优化设计、稳定性分析、振动分析等领域。

1.1.2能量原理与变分原理的历史发展

能量原理与变分原理的发展可以追溯到17世纪，随着牛顿力学的建立，能

量的概念逐渐被引入力学分析中。18世纪，拉格朗日和哈密顿等人进一步发展

了能量原理，提出了拉格朗日方程和哈密顿原理，为能量法在结构力学中的应

用奠定了理论基础。20世纪，随着计算机技术的发展，能量法和变分原理在数

值计算中的应用日益广泛，形成了有限元法、边界元法等现代计算力学方法。

1.2能量原理

能量原理是能量法的核心，主要包括最小势能原理和最小应变能原理。

1.2.1最小势能原理

最小势能原理指出，在静力平衡状态下，结构的总势能达到最小值。总势

能由结构的应变能和外力势能组成。对于一个弹性体，其应变能可以表示为：

1​

=:

2

其中，是应力张量，是应变张量，是结构的体积。

外力势能可以表示为：

​​

=⋅⋅

其中，是体积力，是表面力，是位移向量，是结构的表面。

因此，结构的总势能为：

=−

在静力平衡状态下，达到最小值。

1

1.2.2最小应变能原理

最小应变能原理指出，在满足位移边界条件的情况下，结构的应变能达到

最小值。应变能的计算与最小势能原理类似，但不考虑外力势能。

1.3变分原理

变分原理是能量法的数学基础，它通过求解泛函的极值来寻找结构的平衡

状态。在结构力学中，最常用的变分原理是哈密顿原理。

1.3.1哈密顿原理

哈密顿原理指出，一个系统的实际运动路径，是使作用-反作用原理泛函达

到极值的路径。对于一个弹性结构，哈密顿原理可以表示为：

−=0

其中，是动能，是应变能，和是时间的起始和终止点。

12

通过哈密顿原理，可以导出结构的动力学方程，即拉格朗日方程：

∂∂∂

−+=

∂∂∂

其中，是广义坐标，是广义速度，是广义力。

1.4能量法的应用示例

假设有一个简