2.1 等式与不等式的性质（精讲）（解析版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdf

2.1等式与不等式的性质（精讲）

一．关于实数a，b大小比较的基本事实

1.两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即ab，a＝b，ab.

2.依据：ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝0；ab⇔a－b0

3.结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小

二.等式的性质

性质1如果a＝b，那么b＝a；

性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4如果a＝b，那么ac＝bc；

ab

性质5如果a＝b，c≠0，那么＝.

cc

三.不等式的性质

性质1如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔ba.

性质2如果ab，bc，那么ac，即ab，bc⇒ac.

性质3如果ab，那么a＋cb＋c.

性质4如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.

性质5如果ab，cd，那么a＋cb＋d.

性质6如果ab0，cd0，那么acbd.

nn

性质7如果ab0，那么ab(n∈N，n≥2).

一.将不等关系表示成不等式(组)

1.读懂题意，找准不等式所联系的量.

2.用适当的不等号连接.

3.多个不等关系用不等式组表示.

二.常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过

符号语言≥≤

三．作差法比较两个实数(代数式)大小（“三步一结论”）

1.作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；

2.变形：对差进行变形

①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.

②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.

3.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

4.作出结论．

四．利用不等式的性质求取值范围

1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．

2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转

化，就有可能扩大其取值范围．

3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．

考点一用不等式（组）表示不等关系

2023·5mxm

【例1】（四川眉山）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为，若两段绳子长度之

x

差不小于，则所满足的不等关系为（）

1m

2x50

A．B．或

2x5152x1

0x5

52x12x51

C．D．

0x50x5

【答案】D

5xm

【解析】由题意可知另一段绳子的长度为,.

x5x12x51



因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D