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名师精编优秀教案

数列求和问题·教案

教学目标

1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．

2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比

数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．

教学重点与难点

重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数

列求和．

难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的．

教学过程设计

（一）复习引入

师：等差数列和等比数列既是最基本的数列又是最重要的数列．我们已经推

出了求其前n项和的公式，公式分别是什么？

师：我们学习新知识不仅要记住其结论，正确地运用它解决问题，而且要善

于在学习新知识的过程中体会研究问题的方法，逐渐地学会思考、学会学习．

（不失时机地对学生进行学法指导非常必要）

回忆一下推导这两个公式的方法，你有什么收获？

（留给学生回忆及思考的时间）

生甲：推导等差数列前n项和公式所用的方法是：先把S中各项“正着”写

n

出来，再把S中各项次序反过来写出，两式相加．由于对应项和都为（a+a），

n1n

所以2S=n（a+a），进而求出S．

n1nn

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师：推导方法是将要解决的问题通过“逆序相加”的方法转化为我们熟悉的

常数列求和问题．（渗透转化的思想）

生乙：推导等比数列前n项和所用的方法是：将S的各项依次写出，再把这

n

个式子的两边同时乘以q，然后两式“错项相减”，相减后等号右边只剩下两项，

进而求得S．

n

师：解决此问题需要同学们有敏锐的观察能力．把S=a+aq+…+aqn-2+aqn-2

n1111

的两边分别乘以公比q，就得到各项后面相邻的一项，因而用“错项相减”的方

法就可以消去相同的项．

以上两种求和的思路在解决某些特殊数列求和问题时经常用到．这节课我们

就来研究既非等差数列又非等比数列的一些特殊数列的求和问题．（板书课题）

（二）新课

例1求分母为3，包含在正整数m与n（m＜n）之间的所有不可约的分数

之和．

师：分母为3，包含在正整数m与n之间的所有不可约分数有哪些？

师：本题实质上让我们解决什么问题？

生：求由这些分数构成的数列的各项和．

此数列是我们熟悉的等差数列或等比数列吗？（稍微停顿）都不是．请同学

们观察此数列有什么特点，可用什么方法求和？

生甲：此数列的第一项与最后一项的和是m+n，第二项与倒数第二项的和也

是m+n，依此类推．根据此数列的特点，可以用刚才复习过的“逆序相加法”求

和．

（学生叙述解法一，教师板书）

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解法1：

将上式各项次序反过来写出：

两式相加得

所以S=（m+n）（n-m）=n-m

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生乙：我观察此数列的所有奇数项组成公差为1的等差数列，所有偶数项也

组成公差为1的等差数列，它们分别都有（n-m）项．可以转化成等差数列求和

问题．

（学生叙述解法2，教师板书）

解法2：

名师