3.2.2 函数的奇偶性（精讲）（原卷版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdf

3.2.2函数的奇偶性（精讲）

一．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，

偶函数关于y轴对称

那么函数f(x)就叫做偶函数

设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝

奇函数关于原点对称

－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.

2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x

与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例

3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.

二.函数的奇偶性与单调性

1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](ab)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性

一致(相同).

2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](ab)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性

相反.

三.奇偶函数的运算性质

在公共定义域内：

1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；

3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.

四.函数的对称轴与对称中心(拓展)

(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.

(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.

一．判断函数奇偶性的方法

1.定义法：一求二看三判断

2.图象法

3.性质法

设f(x)，g(x)的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝12

偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有

当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

二．利用奇偶性求解析式

1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函

数解析式中；

2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).

三．利用函数奇偶性和单调性解不等式

1.利用图象解不等式．

2.转化为简单不等式求解．

（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x)＜f(x)或f(x)＞f(x)的形式；1212

（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”

转化为简单不等式(组)求解．

注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．

四．比较大小的

1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．

2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．

五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用

函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)

＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)

的最小正周期．

考点一函数奇偶性的判断

1-12023·

【例】（山西）判断下列函数的奇偶性：

312236x2