人教版九年级数学上册专题5二次函数的概念、图形和性质（热考题型）解析版.docxVIP

专题05二次函数的概念、图形和性质

【思维导图】

◎考点题型1二次函数的概念

1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.

注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

例．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（???????）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义判断即可．

【详解】

①是二次函数；

②是二次函数；

③是二次函数；

④不是二次函数；

⑤不是二次函数；

⑥不是二次函数；

这六个式子中二次函数有①②③

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．

变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m+4是二次函数，则m的值为（???????）

A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．

【详解】

解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，

解得：m＝﹣1，故C正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

变式2．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数的图象经过原点，则的值为（???????）

A． B． C．1 D．0

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义确定a的值．

【详解】

把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，

而a+1≠0，

所以a的值为1．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a+1≠0．

变式3．（2022·河南安阳·一模）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（???????）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可得矩形的一边长为米，则另一边长为米，根据矩形的面积公式计算即可求得则S与x的函数关系．

【详解】

解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米，

∴

∴S与x的函数关系为二次函数关系，

故选C

【点睛】

本题考查了列二次函数关系式，表示出矩形的另一边的长是解题的关键．

◎考点题型2y=ax2

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

0

y轴

x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．

a0

向下

0

y轴

x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．

例．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（???????）

A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1

【答案】C

【解析】

【分析】

分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．

【详解】

解：A．y＝?2x，y随x增大而减小，不符合题意；

B．，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意；

C．y＝2（x＋1）2，当x＞?1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意；

D．y＝?x2＋1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性）．掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的性质是解题的关键．

变式1．（2022·河南·模拟预测）已知点A（?1，m），B（1，m），C（2，n）（nm）在同一个函数图象上，这个函数可能是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由点A(-1，m)，B(1,m)的坐标特点，则知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B两项；再根据B(1，m)，C(2，n)的特点，结合二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a0，则可作出判断．

【详解】

解：A、∵A（?1，m），B（1，m），

∴A点和B点关于y轴对称，

∵的图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意；

B、∵A点和B点关于y轴对称，而图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意；

C、∵21，而nm，

∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而当x0时