河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）.docx

2024-2025学年（上）高二年级开学考

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数z满足，则z的虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由复数z满足，可得，

所以复数的虚部为.

故选：D.

2.在中，若，则是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定

【答案】B

【解析】

分析】由诱导公式和正弦和角公式得，确定，得到答案.

【详解】，

故，

因为，所以，故，所以，

故为直角三角形.

故选：B

3.已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设出单位向量，建立等式求解即可.

【详解】设该单位向量为，由题可知解得或，即或

故选：C

4.已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（）

A.个或个 B.个 C.个 D.无数个

【答案】A

【解析】

【分析】在直线上任取一点，过点作直线，在直线上任取一点，过点作直线，直线可以确定一平面，

记该平面为，直线可以确定一平面，记该平面为，讨论点的位置，确定满足条件的平面的个数.

【详解】在直线上任取一点，由已知，

过点作直线，

因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，

在直线上任取一点，由已知，

过点作直线，

因为，故直线可以确定一平面，记该平面为，

当点或时，过点不存在与都平行的平面，

当点且时，如图，

过点作，

因为直线，所以直线，可以确定一个平面，记为平面，

因为，，，

所以直线，同理可证，

此时过点有且仅有一个平面与都平行.

故选：A.

5.若古典概型的样本空间，事件，，则（）

A.B包含A B.A与B对立 C.A与B互斥 D.A与B相互独立

【答案】D

【解析】

【分析】由事件包含关系的定义判断选项A；由对立事件互斥事件的定义判断选项BC，由是否成立判断选项D.

【详解】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误；

事件，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误；

，，，

，所以事件A与B相互独立，D选项正确.

故选：D.

6.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为（）

A.8π B.12π C.16π D.24π

【答案】A

【解析】

【分析】估计圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍求出圆柱和圆锥的高，求出圆柱的表面积.

【详解】设圆柱和圆锥的高均为，

因为圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，

所以，

所以，所以圆柱的表面积为.

故选：A.

7.如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数、平均数、中位数的计算公式，结合图（1）（2）可以判断出的大小,，进而判断A、B、C、D.

【详解】对于A，图（1）中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此，故A错误；

对于B，图（2）中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此，故B错误；

对于C、D，因为，，由不等式的性质有，故C正确，D错误.

故选：C.

8.设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算.

详解】如图，

取的中点，的中心为，连接，,

设球的半径为，则，

球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为，

过作，则，，

，为等腰直角三角形，

为等腰直角三角形，

所以

正四棱锥的体积为，

所以，

球的半径为，则球O的体积为

故选:B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.