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福建省永泰县第三中学2024-2025学年高一数学4月月考试题

一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．下列说法错误的是（）

A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与随意非零向量平行

C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等

2．已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）

A．不存在，使 B．

C．， D．在方向上的投影为

3．下列命题正确的是（）

A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面

C．棱柱有且只有两个面相互平行 D．棱柱的侧面都是矩形

4．设中边上的中线为，点满意，则（）

A．B．C． D．

5..若实数x，y满意，则xy的值是

A. B.2 C.1 D.

6.已知向量不共线，且，，则肯定共线的三点是（）

A． B． C． D．

7．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=

A．B．C． D．

8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A． B．C． D．

二多选题:本题共4小题，每题5分，共20分.再给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.

9．下列关于平面对量的说法中不正确的是（）

A．，,若,则B．单位向量，，则

C．若点为的重心，则D．若且，则

10．下列说法中错误的为（）

A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B．向量，不能作为平面内全部向量的一组基底

C．若，则在方向上的投影为

D．非零向量和满意，则与的夹角为60°

11．△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（）

A．B．BD=2C．D．△CBD的面积为

12．对于，有如下推断，其中正确的推断是（）

A．若，则为等腰三角形

B．若，则

C．若，，，则符合条件的有两个

D．若，则是钝角三角形

三、本题共4小题，每题5分，共20分

13．已知复数是纯虚数，则实数________

14若向量、、满意，，则________．

15．定义是向量和的“向量积”，它的长度，其中为向量和的夹角，若，，则________.

16．已知平面对量，的夹角为，且，，的最小值是________．

四、解答题:本题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17．(10分）已知向量,.

（1）若向量，求实数的值；

（2）若向量满意，求的值.

18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为2，，求．

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（12分）如图，在平行四边形中，是的中点，且在直线上，且，记，，若.

（1）求的值；

（2）若，，且，求.

20．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，

（1）求的大小；

（2）若，求面积的最大值．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，

（1）若，求的值；

（2）若与的夹角为，求的值。

22.（12分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满意)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采纳锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

（1）当时，求四边形的面积；

（2）求灯柱的高(用表示)；

（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.

参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

D

B

A

C

A

C

D

AD

ACD

AC

BD

13,114,015,16,；

17．（1）或；（2）.

（1）,，

，.

，，

解得或.

（2），

，

即，解得.

.

18．选择①:；选择②：；选择③：

若选择①，由正弦定理得.

因为，所以，.

因为，所以.

，

因为，，所以.

由余弦定理得，

所以.

若选择②，由余弦定理.

因为，所以.

，

因为，，所以.

由余弦定理得，

所以.

若选择③，由和角公式得，

所以.

因为，则，

所以，所以.

，

因为，，所以.

由余弦定理得，

所以.

19．（1）2；（2）.

（1）∵是的中点，∴，

∵，∴.

由可知.

又∵，∴.

（2）∵，及可知.，

在中，由，，及余弦定理可知

得，

解得.

∴

.

∴.

2