专题2.2 等腰三角形中的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(解析版).pdf

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专题2.2等腰三角形中的几何综合

【典例1】【概念学习】

规定①:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“形似三角

形”.

规定②:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个

三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“形似

三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”.

(1)【概念理解】

△∠=36°=∠△△

如图1,在中,,,平分,则与(填“是”或“不是”)

互为“形似三角形”.

(2)如图2,在△中,平分∠,∠=36°,∠=48°.求证:为△的等腰分割线;

(3)【概念应用】

在△中,∠=45°,是△的等腰分割线,直接写出∠的度数.

【思路点拨】

(1)由题意推出∠=36°,∠=72°,∠=72°,从而得出结论;

(2)根据题意,通过计算得出△是等腰三角形,∠=∠=36°,∠=∠=48°,

∠=∠=96°,从而得出结论;

(3)根据题意,分为当△是等腰三角形△是等腰三角形两类,当△是等腰三角形时,再

===△

分为:,,三种情形讨论;同样当是等腰三角形时,也分为三种情形讨论,

分别计算出∠的度数即可.

【解题过程】

∵∠=36°=

(1)解:,,

∴∠=∠=72°,

∵平分∠,

1

∴∠=∠=36°,

2

∵∠=72°,

∴∠=72°,

∴△和△互为“形似三角形”,

故答案为:是;

(2)证明:.∵∠=36°,∠=48°,

∴∠=180°−36°−48°=96°,

∵平分∠,

11

∴∠=∠=∠=×96°=48°,

22

∴∠=48°=∠,

∵∠是△的一个外角,

∴∠=∠+∠=96°=∠,

∴△是等腰三角形,∠=∠=36°,∠=∠=48°,∠=∠=96°,

∴为△的等腰分割线;

(3)解:(Ⅰ)当△是等腰三角形,另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时,

①如图1所示:

当=时,则∠=∠=45°,

∴∠=∠+∠=90°,

此时,△、△是“形似三角形”,可知∠=∠=45°,

∴∠=∠+∠=90°;

②如图2所示:

180°−45°

当=时,则∠=∠==67.5°,

2

此时,△、△是“形似三角形”,可知∠=∠=45°,

∴∠=45°+67.5°=112.5°;

③当=时,这种情况不存在;

(Ⅱ)当△是等腰三角形,另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时,

①如图3所示:

当=时,∠=∠,

此时,△、△

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