第4节--函数极限的定义与基本理论.ppt

一、极限的定义

sinx

1、观察函数y,当x0时的变化.

x

问题:如何用描述?

定义4.1（邻域）称集合

o

U(x0;){x|0|xx0|},

为点的去心邻域，或记为o

x0U(x0).

设在点的去心邻域，

定义4.2（函数极限）f(x)x0

o内有定义，为一个实数，若

U(x0)A

对当时，有

0,,|xx0|

|f(x)A|，

称时以为极限记为

xx0,f(x)A,limf(x)A.

xx0

极限为局部性质，仅和附近取值有关

x0.

与在点是否有定义无关

f(x)x0;

取值和有关.

当o函数图形完全落在以

xU(x0;),yf(x)

直线yA为中心线,宽为2的带形区域内.

几何意义

sinx

sinx

例1证明lim0.y

xxx

sinxsinx1

证0

xxx

1

0,取X,则当xX时恒有



sinx

0,

x

sinx

故lim0.

xx

x21

例2证明lim2.

x1x1

证函数在点x=1处没有定义.

x21

f(x)A2x1任给0,

x1

要使f(x)A,只要取,

2

当时x1

0xx0,就有2,

x1

x21

lim2.

x1x1

定义4.3（极限不存在的定义）

函数在不以为极限：对

f(x)x0A00,0,

满足但

x0|xx0|,|f(x)A|0.

xxQ

例2证明f(x),在(0，)处处不连续.

0xR\Q

对任意，若为有理数，则

证明x0(0),x0

x

00,对0,由实数稠密性，知

02

但

存在无理数x，满足0|x0x|,

|f(x0)f(x)|x0.

x

若x为无理数，00,由实数稠密性，

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