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可测函数

与连续函

数

实变大作业

2011/4/27

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可测函数与连续函数

【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数

与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。

【关键词】：可测函数、连续函数、关系

这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及

其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之

间的关系。

一、基本概念

1、几乎处处：

给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P

在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。

2、可测函数：

设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。假如对于任意实数

都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上的可测函数）。

3、几乎处处有限的可测函数：

设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，

，在上有限，假如对于任意实数

都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数

4、连续函数：

设，是定义于的函数，，假如

则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。

5、预备定理、引理

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定理2.2设是一个紧集，是一列沿连续的函数。若在

上一致收敛于，则也沿连续。

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定理2.3（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处

有限的可测函数。若在上几乎处处收敛于，则对任何

并且在上一致收敛于。

引理2.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上

的连续函数，并且=。

引理2.2设是可测集上的简单函数。则对任何有沿连续

的函数使。

二、可测函数和连续的关系

1、连续函数的可测性

定理1可测集上的连续函数都是可测函数。

证明:对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使

。因此，令，则：

反之，显然有，因此：

从而：

但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍

为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。

但可测函数不一定连续例例：

可测函数Dirichlit函数在