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3.2.1单调性与最大(小)值
一、判断函数的单调性及求函数的单调区间
五、利用单调性求参数
二、证明函数的单调性
六、求函数的最值
三、利用单调性比较大小
七、由函数的最值求参数
四、利用单调性解不等式
八、不等式的恒成立问题
知识点1函数的单调性
1.单调性的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,
当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数
当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数
图象描述
自左向右看,图象是上升的
自左向右看,图象是下降的
温馨提示:定义中的有以下3个特征
(1)任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;
(2)有大小,通常规定;(3)属于同一个单调区间.
2.函数的单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间.
温馨提示:(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质.
(2)函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调.如等.
(3)并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性.
3.复合函数的单调性
一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
重难点一判断函数的单调性及求函数的单调区间
【例1】函数的单调递增区间为(????)
A. B. C. D.
【例2】函数的单调递减区间为()
A. B.
C. D.
【变式1-1】(多选)当时,函数值随的增大而增大,称函数为增函数.下列函数中,当时是增函数的有(????)
A. B. C. D.
【变式1-2】(多选)下列函数中,在上是增函数的是(????)
A. B. C. D.fx=1
【变式1-3】函数的单调递增区间为
重难点二证明函数的单调性
【例3】已知函数.
(1)在坐标系中画出函数的图象;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明;
【例4】函数的定义域为,且对一切都有,当时,有.
(1)求的值;
(2)判断的单调性并证明;
【变式2-1】已知函数.
(1)求的解析式;
(2)判断在上的单调性,并根据定义证明.
【变式2-2】证明函数在区间上单调递减.
【变式2-3】证明:函数,是严格增函数.
重难点三利用单调性比较大小
【例5】若函数在上是减函数,则的大小关系为.
【例6】函数为定义在上的减函数,若,则(????)
A. B.
C. D.
【变式3-1】已知函数对于任意的,都有,则的大小关系为
【变式3-2】已知函数.
(1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增;
(2)若,试比较,的大小.
【变式3-3】已知函数.
(1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增;
(2)比较,的大小.
重难点四利用单调性解不等式
【例7】已知是定义在上的增函数,且,则的取值范围是.
【例8】(多选)已知函数满足:任意给定,都有,且任意,,,则下列结论正确的题号是(????)
A. B.任意给定,
C. D.若,则
【变式4-1】已知函数,,则不等式的解集为.
【变式4-2】已知函数.
(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减;
(2)若,求实数的取值范围.
【变式4-3】定义在上的函数满足:对,且,都有成立,且,则不等式的解集为.
重难点五利用单调性求参数
【例9】如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【例10】已知函数满足对任意,当时都有成立,则a的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【变式5-1】已知函数在区间上是单调函数,则实数的取值范围是
【变式5-2】“”是“函数在上单调递增”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【变式5-3】已知函数,在上是单调函数,则的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
知识点2最值
定义
几何意义
最大值
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
①,都有;
②,使得.
那么,称是函数的最大值.
函数的最大值是图象最高点的纵坐标
最小值
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
①,都有;
②,使得.
那么,称是函数的最小值.
函数的最小值是图象最低点的纵坐标
注意:(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素.
(2)并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值.
(3)最
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