对称矩阵的例子.pdf

对称矩阵的例子

对称矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在各种数学、物

理、工程等领域中都有广泛的应用。本文将介绍对称矩阵的定义、性

质以及一些常见的例子，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、对称矩阵的定义

对称矩阵是指一个方阵A，满足A的转置矩阵等于它本身，即A

的每一个元素a(i,j)都等于a(j,i)，即：

A=A^T

其中，A^T表示A的转置矩阵，即把A的行列交换得到的矩阵。

例如，对于一个3x3的矩阵A，它的转置矩阵A^T为：

A^T=[a(1,1)a(2,1)a(3,1)

a(1,2)a(2,2)a(3,2)

a(1,3)a(2,3)a(3,3)]

对称矩阵的定义可以用几何意义来解释，它表示一个矩阵在某个

坐标系下关于某个轴对称。例如，一个二阶对称矩阵可以表示一个二

维平面上的图形关于某条对称轴对称，而一个三阶对称矩阵可以表示

一个三维空间中的图形关于某个平面对称。

二、对称矩阵的性质

对称矩阵有许多重要的性质，下面列举一些常见的性质：

1.对称矩阵的特征值都是实数

对于一个对称矩阵A，它的特征值λ和特征向量v满足：

Av=λv

-1-

因此，我们可以得到：

(Av)^T=(λv)^T

即：

v^TA^T=v^Tλ^T

由于A是对称矩阵，所以A^T=A，因此：

v^TA=v^Tλ

两边同时乘以v，得到：

v^TAv=λv^Tv

由于v是非零向量，所以v^Tv0，因此λ必须是实数。

2.对称矩阵的特征向量可以正交归一化

对于一个对称矩阵A，它的特征向量v1和v2对应不同的特征值

λ1和λ2，如果它们满足：

Av1=λ1v1

Av2=λ2v2

那么它们是正交的，即：

v1^Tv2=0

如果我们将它们归一化，使得：

||v1||=||v2||=1

那么它们就是正交归一化的，即：

v1^Tv2=δ1,2

其中δ1,2是Kroneckerdelta符号，当i=j时为1，否则为0。

3.对称矩阵可以对角化

-2-

对于一个对称矩阵A，它可以被对角化为：

A=QDQ^T

其中，Q是一个正交矩阵，即Q^TQ=QQ^T=I，D是一个对角

矩阵，它的对角线上的元素是A的特征值。这个定理被称为对称矩阵

的谱定理，它深刻地揭示了对称矩阵的性质。

三、对称矩阵的例子

下面介绍一些常见的对称矩阵例子。

1.单位矩阵

单位矩阵是一个对称矩阵，它的对角线上的元素都是1，其他元

素都是0。单位矩阵在矩阵乘法中起到类似于数字1的作用，它是一

个非常重要的矩阵。

2.对角矩阵

对角矩阵是一个对称矩阵，它的非对角线上的元素都是0，对角

线上的元素可以是任意实数。对角矩阵在线性代数中有广泛的应用，

例如表示线性变换的特征值和特征向量。

3.同阶的两个矩阵的和

如果两个同阶的矩阵A和B都是对称矩阵，那么它们的和A+B也

是一个对称矩阵。这个性质在矩阵加法中非常重要。

4.矩阵的外积

矩阵的外积是指两个向量的乘积得到的矩阵，它也是一个对称矩

阵。例如，对于两个列向量u和v，它们的外积是一个矩阵uv^T，它

的对称性可以通过矩阵乘法的结合律和交换律来证明。

-3-

四、对称矩阵的应用

对称矩阵在各种数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，下

面介绍一些典型的应用。

1.特征值问题

对称矩阵的特