解三角形教案.pdf

普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）

必修5《解三角形》简介

在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并

掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何

计算有关的实际问题。

一、内容与课程学习目标

本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三

角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一

些简单的三角形度量问题．

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际

问题．

二、内容安排

本章教学约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：

1.1正弦定理和余弦定理约3课时

1.2应用举例约4课时

1.3实习作业约1课时

本章的知识结构如下图所示

1．正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两

个重要定理．

对于正弦定理，教科书首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边

角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题．由于涉及边角之间

的数量关系，就比较自然地引导到三角函数．在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角

函数．研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理．分析直角

三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表

示了锐角三角形边AB上的高．这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的

正弦定理．钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过

探究来加以证明．

如果∠A＜∠B，由三角形的性质，．当∠A，∠B都是锐角，由正弦函数在区间（0，

π/2）上的单调性可知，sinA＜sinB．正弦定理指出了三角形中边与对应角的正弦之间的一

个关系式，它描述了三角形中大边与大角的一种准确的数量关系。当∠A是锐角，∠B是钝

角，因为∠A＋∠B＜π，所以∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间（π/2，π）上的单调性可知，

sinB＞sin（π－A）＝sinA，所以sinA＜sinB．等式仍描述了此三角形中

大边对大角的一种准确的数量关系．所以，教科书指出，正弦定理非常好地描述了任意三角

形中边与角的一种数量关系。

2．用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角

形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。由已知

三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。应该注意，上述对于解三角形的描述是

对传统的关于解三角形的一个简化．在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角

平分线等也作为三角形的元素．教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素．

正弦定理实际上包含了三个等式，这就是：

上面的每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用

于两类解三角形的问题：

（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角．

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和

角。

3．教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法．在已知三角形的两边及其中

一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解

三角形的进一步讨论”中对此作了说明．教科书的例2也涉及了这种情况，在得出了sinB=0。

8999后，应该指出在0°到180°之间，对应于sinB=0。8999的角有两个，一个是锐角64°，

一个是钝角116°，这两个角是否都合要求呢？根据“三角形中大边对大角”来判断，因为

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ba，所以BA，而A=40°，可知求出的