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2010-2023历年黑龙江哈尔滨第六中学高二下学期期中考试理科数学卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.若，则＝________.

2.若X是离散型随机变量，，且，又已知，则（?）

A．

B．

C．

D．

3.某种玫瑰花，进货商当天以每支1元从鲜花批发商店购进，以每支2元售出．若当天卖不完，剩余的玫瑰花批发商店以每支0.5元的价格回收．根据市场统计，得到这个季节的日销售量X(单位：支)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．（12分）

?

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)若进货量为(单位支)，当n≥X时，求利润Y的表达式；

(3)若当天进货量n＝400，求利润Y的分布列和数学期望E(Y)(统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)．

4.如图，四棱锥中,，底面为梯形，，，且.（10分）

（1）求证：;

（2）求二面角的余弦值.

5.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为????????.

6.某单位为了了解用电量(千瓦时)与气温()之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温()

18

13

10

用电量(千瓦时)

24

34

38

64

?

由表中数据得线性回归方程中，预测当气温为时，用电量约为(????)

A．58千瓦时?????????B．66千瓦时???????C．68千瓦时?????????D．70千瓦时

(参考公式：)

7.二项展开式中的常数项为(????)

A．112

B．-112

C．56

D．-56

8.已知盘中有编号为A,B,C,D的4个红球,4个黄球,4个白球(共12个球)现从中摸出4个球(除编号与颜色外球没有区别)（12分）

（1）求掐好包含字母A,B,C,D的概率;

（2）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X.求X的分布列和期望E(X).

9.一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为()．

A．8

B．12

C．16

D．24

10.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=()

A．

B．

C．

D．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：3或5试题分析：由组合数公式知，即，或，即，所以应填3或5.

考点：组合数公式的性质.

2.参考答案：A试题分析：由题知，又；与联立可解得

考点：离散型随机变量的期望与方差.

3.参考答案：(1)a＝0.0015；(2)Y＝1.5X－0.5n；(3)利润Y的分布列见解析，E(Y)＝287.5.试题分析：(1)由所给频率/组距，求出各组的频率，又频率和为1，可得a值；（2）当n≥X时，由题中以每支1元从鲜花批发商店购进，以每支2元售出．若当天卖不完，剩余的玫瑰花批发商店以每支0.5元的价格回收，可得Y＝(2－1)X－(n－X)0.5＝1.5X－0.5n；(3)由进货量n＝40，得X的可能取值，再得Y的可能取值，进一步找出概率，得出分布列，由分布列求出期望.

试题解析：(1)由图可得100a＋0.002×100＋0.003×100＋0.0035×100＝1，解得a＝0.0015.—3分

(2)∵n≥X，∴Y＝(2－1)X－(n－X)0.5＝1.5X－0.5n.?????????6分

(3)若当天进货量n＝400，依题意销售量X的可能值为200，300，400，500，

对应的利润Y分别为100，250，400.利润Y的分布列为

Y

100

250

400

P

0.20

0.35

0.45

?

所以E(Y)＝100×0.20＋250×0.35＋400×0.45＝287.5(元)．??????12分

考点：频率分布直方图，离散型随机变量的概率，分布列，期望.

4.参考答案：（1）证明见解析；（2）二面角的余弦值为．试题分析：（1）连结,交于点,连结，由所给条件可得，即，则；（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则可得坐标，设为平面的一个法向量，由

，可得，同理为平面的一个法向量，，?知二面角的余弦值.

试题解析：（1）连结,交于点,连结，?∵，，?∴

又?∵,∴∴?在△BPD中，

???∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，

则，，∴，

解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，

解得，∴??

∴二面角的余弦值为．-------------------10分

方法二