2025届江苏省南京市田家炳高级中学高三上学期阶段测试（二）数学试卷.docVIP

2025届江苏省南京市田家炳高级中学高三上学期阶段测试（二）数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，，若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.若复数满足，则（）

A．1

B．2

C．

D．

(★★)3.若，，且，则等于（）

A．

B．2或

C．

D．2

(★★)4.已知数列的前n项和，正项等比数列满足，，则使成立的n的最大值为（）

A．5

B．6

C．7

D．8

(★★)5.函数的图像大致是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.已知，是方程的两根，且，，则的值为（）

A．

B．

C．或

D．或

(★★★)7.已知实数满足，则的最大值是（）

A．

B．4

C．

D．7

(★★★)8.已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（）

A．

B．双曲线的离心率

C．双曲线的焦距为

D．的面积为

(★★)10.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（）

A．，

B．若，则

C．

D．随机变量满足，则

(★★★)11.如图，在正方体中，P是正方形的中心，E是PC的中点，则以下结论（）

A．平面BDE

B．平面平面BDE

C．

D．异面直线PC与AB所成的角为

三、填空题

(★)12.从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有_________种.

(★★)13.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________．

(★★★)14.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________．

四、解答题

(★★★)15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求的值；

(2)若，求面积的最大值.

(★★★)16.随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1～5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示.

月份

1

2

3

4

5

初级私人健身教练价格（元/小时）

210

200

190

170

150

初级私人健身教练课程的月报名人数（人）

5

8

7

9

11

(1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）

(2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001）

(3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）

参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：.，，.

(★★★)17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；

(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．

(★★★★)18.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.

(1)若离心率时，求的值．

(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．

(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．

(★★★★★)19.已知函数．

(1)若，求函数的极值；

(2)当时，若对，恒成立，求的最小值．