2024-2025学年上海南洋中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.09）.docx

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南洋中学2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知集合，，则集合________．

2．复数（i为虚数单位），则________．

3．函数的定义域为________．

4．的二项展开式中的系数为________．

5．双曲线的焦点到渐近线的距离等于________．

6．不等式的解是________．

7．某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素，共4种不同品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备________种不同的素菜．

8．已知函数，若，则________．

9．已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为________．

10．已知函数，则的解是________．

11．已知函数，则的值为________．

12．在锐角中，，则的取值范围为________．

二、选择题（本大题每题5分，满分20分）

13．已知函数，则对任意实数，函数的值域是（）.

A． B． C． D．

14．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为则实数分别等于（）.

A．、 B．2、3 C．、2 D．、

15．对于函数，给出下列结论：

（1）函数的图像关于点对称；

（2）函数在区间上的值域为；

（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；

（4）曲线在处的切线的斜率为1．则所有正确的结论是（）.

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）

16．已知是定义在上的偶函数，若任意、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（）．

A． B． C． D．

三、解答题（本大题满分76分）

17．（本题满分14分，其中第（1）小题7分，第（2）小题7分）

已知函数．

（1）求的最小正周期与单调增区间；（2）若，求函数的最值．

18．（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，在三棱锥中，平面平面，，且点在以点为圆心，为直径的半圆上．

（1）求证：；

（2）若且与平面所成的角为，求点到平面的距离．

19．（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）．

已知函数，其中为常数．

（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）若，判断函数在上的单调性，并证明你的结论．

20．（本题满分16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）

中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．

现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．

（1）当，时，求正方形纸片的边长；

（2）当变化时，求的最大值及对应的值．

21．（本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

设，函数的定义域为R．若对满足的任意、，均有，则称函数具有“性质”．

（1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；

①；②；

（2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；

（3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.

11．已知函数，则的值为_______．

【答案】

【解析】根据题意,函数,则

故

，故答案为:.

12．在锐角中，，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】,利用余弦定理可得：,

即,

由正弦定理可得:

即,即

又为锐角三角形,,即,

又令,则,

由对勾函数性质知，在上单调递增,

又

二、选择题

13.C14.A15.C16.A

15．对于函数，给出下列结论：

（1）函数的图像关