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结构力学基础概念：能量法：最小余能原理应用

1结构力学基础概念：能量法：最小余能原理应用

1.1绪论

1.1.1能量法的基本概念

能量法是结构力学中一种基于能量原理分析结构的方法。在工程分析中，

能量法提供了一种替代传统的力平衡和位移分析的途径，尤其在处理复杂结构

问题时，能量法因其简洁性和通用性而显得尤为有效。能量法的核心在于将结

构的平衡状态与能量的极值状态联系起来，通过能量的最小化或最大化来求解

结构的未知量。

在能量法中，我们主要关注两种能量：内能和外能。内能是结构内部由于

变形而储存的能量，外能则是结构外部施加的力对结构做功的能量。当结构达

到平衡状态时，内能和外能之间存在某种平衡关系，这种关系是能量法分析的

基础。

1.1.2最小余能原理的引入

最小余能原理是能量法中的一个重要原理，它指出在所有可能的位移中，

真实位移使得余能（外能与内能之差）达到最小。余能的定义为外力所做的功

减去结构内部储存的能量。在静力平衡条件下，结构的真实位移将使得余能达

到最小值，这一原理在求解结构的位移和应力分布时非常有用。

最小余能原理的应用通常涉及建立结构的能量表达式，然后通过求解能量

表达式的极值来找到结构的真实位移。这一过程往往需要使用到变分法，即通

过求解能量表达式的变分来找到能量的极值点。

1.2示例：使用最小余能原理求解简支梁的位移

假设我们有一根简支梁，长度为，在中点受到一个垂直向下的集中力。

ℎ

梁的截面为矩形，宽度为，高度为，弹性模量为，泊松比为。我们的目标

是使用最小余能原理来求解梁中点的位移。

1.2.1步骤1：建立能量表达式

首先，我们需要建立梁的外能和内能表达式。外能是集中力对梁中点

位移所做的功，可以表示为：

1

=2

2

内能是梁由于弯曲变形而储存的能量，对于简支梁，可以表示为：

1

22

1

=2

2

0

=1ℎ3

其中，是梁的抗弯刚度，对于矩形截面，。

12

1.2.2步骤2：求解余能的极值

余能定义为外能与内能之差：

=−

将和的表达式代入，得到：

22

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