1.3 集合的基本运算（精讲）（解析版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdf

1.3集合的基本运算（精讲）

一．并集

1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.

2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

3.图形语言：如图所示.

4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.

如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.

5.概念理解

并集中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：

“x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示：

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二．交集

1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集.

2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.

3.图形语言：如图所示.

4.运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅.如果A⊆B，则A∩B＝A，反之

也成立.

5.概念理解

（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.

（2）两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.

三．全集、补集的概念

1.全集

①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.

②记法：全集通常记作U.

2.补集

（1）文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集

U的补集，记作∁UA

（2）符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

（3）图形语言

(4)符号∁UA有三层意思：

①A是U的子集，即A⊆U；

②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；

③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

一．求集合并集的两种方法

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1.定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两

个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点

值代入题目验证．

二．求两个集合的交集的方法

1.对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合的相同元素，但要注意集合中元素的互异性．

2.对于元素个数无限的集合，可借助数轴求交集，两集合的交集对应的是表示两集合的相应图形所覆盖的公

共区域．

3.求集合A∩B的常见类型

(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.

(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.

(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表

示，不含有端点的值用空心圈表示.

三．求补集的方法

1.列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.

2.由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.

四．利用集合交集、并集的性质

1.依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

2.关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解.

3.求解与不等式有关的集合问题的方法

解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，

要注意求解时端点的值是否能取到.

4.要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：

交集元素仔细找，属于A且属于B；

并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；

全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．

考点一并集

A0,1,2B1,0

1-12023

【例】（浙江省宁波市）已知集合，，则AB（）

A．1,1,2B．0,1,2C．