湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试 数学试题.docxVIP

长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷

数学

得分：________

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．命题“对任意，”的否定为

A．对任意，B．存在，

C．对任意，D．存在，

2．已知，，则

A．B．C．D．

3．已知，则

A．2B．C．4D．

★4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是

A．B．C．（-2，2）D．（-∞，-2）∪（2，＋∞）

5．已知，，则

A．B．C．D．

★6．若函数有两个零点，则实数m的取值范围是

A．（-1，2）B．（-1，1）C．（0，1）D．（-1，0）

7．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为

A．B．16C．D．12

8．在△ABC中，，O是△ABC的外心，M为BC的中点，，N是直线OM上异于M，O两点的任意一点，则

A．3B．6C．7D．9

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．已知事件A，B发生的概率分别为，，则

A．若，则事件与B相互独立B．若A与B相互独立，则

C．若A与B互斥，则D．若B发生时A一定发生，则

10．，，若在上的投影向量为，则

A．B．C．D．

11．已知，，且，则

A．B．

C．的最大值为2D．

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

得分

答案

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．已知函数则________．

13．一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________．

★14．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________．

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

★15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．

（1）求△ABC的面积；

（2）若，求b．

16．（15分）已知函数，．

（1）解不等式；

（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围．

★17．（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，，，E为AD的中点，点F在PA上，．

（1）证明：；

（2）若，且PD与平面ABCD所成的角为45°，求平面AEF与平面BEF夹角的余弦值．

18．（17分）已知函数f（x）满足：，，且当时，，函数．

（1）求实数m的值；

（2）若，且，求x的取值范围；

（3）已知，其中，是否存在实数λ，使得恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

19．（17分）设整数集合，其中，且对任意i，j（），若，则．

（1）请写出一个满足条件的集合A；

（2）证明：对任意，；

（3）若，求满足条件的集合A的个数．

长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷

数学参考答案

一、二、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

B

D

B

C

A

D

C

B

AB

AD

ABC

8．B【解析】因为O是△ABC的外心，M为BC的中点，设AC的中点为D，连接OD，

所以，，设，

则

，

又O是△ABC的外心，

所以，

所以．

故选B．

11．ABC【解析】因为，所以，

因为所以，

对于A，，令，，

由双勾函数的性质可得函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，

所以，

又，，所以，

即，故A正确；

对于B，，

由，得，所以，

即，故B正确；

对于C，令，则，

即，即，

则，

由，得，

所以当时，lgk取得最大值lg2，

所以k的最大值为2，即的最大值为2，故C正确；

对于D，，

令，，则，

则，

令，，

由双勾函数的性质可得函数g（t）在上单调递减，在上单调递增

所以，

当x→0时，g（t）→＋∞，

所以，

即，故D错误．

故选ABC．

三、填空题

12．13．45.514．

四、解答题

15．【解析】（1）由题意得，，，

则，即，

由余弦定理得，整理得，

则，又，所以，即，

则．

（2）由正弦定理得，

则，

则，所以．

1