专题15 海盗埋宝模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(原卷版).pdfVIP

专题15海盗埋宝模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(原卷版)--第1页

专题15海盗埋宝模型(3种证明方法)

模型文字概述：从前，某海盗头带着众海盗，用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上。他们要把这些

财物埋下。因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了。但他们发现，岛上有三

棵树，一棵是A，一棵是B，一棵是C。海盗头对一个水手说：“从A到B拉一根绳子，然后从B出发，沿

着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做1号地点。”水手这样做了。

海盗头又对另一个水手说：“从A到C拉一根绳子，然后从C出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里

走一段等于这段绳子的长度。这一点叫做2号地点。”第二个水手也这样做了。

等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”

海盗们把财宝埋好了，上船走了。

过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷地串通好了海盗头的小侍从，两个

人回到岛上。可谁知，A被台风刮走了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树还在。水手非常懊恼，觉

得他们的美梦要落空了。可是，小侍从却很聪明，他说：“别急，没有A，我一样能把财宝找出来！”

只见小侍从找到了另外两棵树连线的中点，过中点作了一条该连线的垂线，沿着该垂线在向岛内走出

两棵树连线一半的距离，这时小侍从对水手说：“这儿就是藏宝的地点，我们快挖吧！”

水手将信将凝，顺着小侍从指的那一点试着挖了下去，谁知挖了一会儿，果然挖到了海盗们以前埋下

的财宝。两个人把财宝全都挖了出来，高高兴兴地用船运走了。你能说明其中的原因吗？

模型数学概述：如图，∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形，点B、

C为直角顶点，连接DE，点F为DE的中点，连接BF、CF，

则∆BFC为等腰直角三角形，点F为直角顶点。

证明方法一：

1)如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB于

点Q

连接BC

∵点F为DE的中点∴DF=EF

在∆BDF和∆PEF中

BF=FP

∠BFD=∠PFE∴∆BDF≌∆PEF（SAS）∴BD=PE∠DBF=∠EPF

DF=EF

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∴BD‖PE∴∠DBA=∠EQA

∵∆ABD和∆ACE是等腰三角形∴AB=BD∠DBA=90°AC=AE∠ACE=90°

∴AB=PE∠DBA=∠EQA=90°

在四边形EQAC中

∵∠EQA+∠ECA=90°+90°=180°

∴∠QAC+∠QEC=360°-180°=180°

又∵∠PEC+∠QEC=180°∴∠QAC=∠PEC

在∆BAC和∆PEC中

AB=PE

∠BAC=∠PEC∴∆BAC≌∆PEC（SAS）∴BC=PC∠ACB=∠ECP

AC=AE

∴∠ACB+∠BCE=∠ECP+∠BCE即∠ACE=∠BCP=90°

∴∆BCP为等腰直角三角形又∵BF=PE

∴CF⊥BPCF=BF

∴∆BFC为等腰直角三角形

2)如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB延长线

于点Q，PQ与AC边相交于点G,连接BC

∵PQ‖BD∴∠Q=90°

∴∠QAG=∠GEC（8字模型）

∴∠BAC=∠PEC

其它证明过程相同

证明方法二（思路）：

将∆DAB沿AB对称得∆PAB，将∆EAC沿AC对称得∆QAC，连接PE，DQ

∵∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形

∴AB=BD∠DBA=90°AC=CE∠ACE=90°∠DAB=∠EAC=45°

∵∠DAP=∠EAQ∴∠DAP+∠EAD