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中考热点03二次函数与几何结合压轴题(Ⅰ)
目录:题型一:线段周长问题;题型二:面积问题;题型三:角度问题;题型四:特殊三角形问题
一、解答题
题型一:线段周长问题
1.(2021·浙江丽水·统考中考真题)如图,已知抛物线经过点.
(1)求的值;
(2)连结,交抛物线L的对称轴于点M.
①求点M的坐标;
②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线.过点M作轴,交抛物线于点N.P是抛物线上一点,横坐标为,过点P作轴,交抛物线L于点E,点E在抛物线L对称轴的右侧.若,求m的值.
2.(2022·浙江·九年级自主招生)如图,已知二次函数的图像经过点、和原点O.P为二次函数图像上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为,并与直线OA交于点C.
(1)求出二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,求线段PC的最大值;
(3)当时,探索是否存在点P,使得为等腰三角形,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.
3.(2023·浙江·九年级专题练习)已知二次函数l1:y=x2+6x+5k和l2:y=kx2+6kx+5k,其中k≠0且k≠1.
(1)分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标;
(2)若两条抛物线l1和l2相交于点E,F,当k的值发生变化时,判断线段EF的长度是否发生变化,并说明理由;
(3)在(2)中,若二次函数l1的顶点为M,二次函数l2的顶点为N;
①当k为何值时,点M与点N关于直线EF对称?
②是否存在实数k,使得MN=2EF?若存在,求出实数k的值,若不存在,请说明理由.
4.(2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习)一次函数的图像与轴交于点,二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)如图1,一次函数与二次函数的图像交于点、(),过点作直线轴于点,过点作直线轴,过点作于点.
①_________,_________(分别用含的代数式表示);
②证明:;
(3)如图2,二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的,且与一次函数的图像交于点、(点在点的左侧),过点作直线轴,过点作直线轴,设平移后点、的对应点分别为、,过点作于点,过点作于点.
①与相等吗?请说明你的理由;
②若,求的值.
5.(2022秋·浙江·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上有一点M,M的横坐标为,过点M作于点H,作ME平行于y轴交直线BC于点E,交x轴于点F,求的周长的最大值.
(3)点P为此函数图象上任意一点,其横坐标为m,过点P作轴,点Q的横坐标为.已知点P与点Q不重合,且线段PQ的长度随m的增大而减小.
①求m的取值范围;
②当时,直接写出线段PQ与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围.
6.(2022秋·浙江·九年级专题练习)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的交点为C(0,3),其对称轴是直线x=1,点P是抛物线上第一象限内的点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,交BC于点D,且点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)如图1,PE⊥BC,垂足为E,当DE=BD时,求m的值;
(3)如图2,连接AP,交BC于点H,则的最大值是.
7.(2022秋·浙江·九年级专题练习)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过B,C两点,点D为抛物线上一个动点(不与B,C重合).
(1)求直线l的表达式;
(2)如图,当点D在直线l上方的抛物线上时,过D点作DEx轴交直线l于点E,设点D的横坐标为m.
①当点D运动到使得点E与点C重合时,求点D的坐标;
②求线段DE的长(用含m的代数式表示),并求出线段DE的最大值.
8.(2022秋·浙江·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)点M为抛物线的对称轴上的一个动点,若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,求点M的坐标;
(3)若P为y轴上的一个动点,连接PD,求PB+PD的最小值.
题型二:面积问题
9.(2016·浙江温州·中考真题)如图,抛物线(m>0)交y轴于点C,CA⊥y轴,交抛物线于点A,点B在抛物线上,且在第一象限内,BE⊥y轴,交y轴于点E,交AO的延长线于点D,BE=2AC.
(1)用含m的代数式表示BE的长.
(2)当m=时,判断点D是否落在抛物线上,并说明理由.
(3)若AG∥y轴,交OB于点F,交BD于点G
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