安徽省合肥市第一中学滨湖校区2024-2025学年高二上学期素质拓展训练(一)数学试卷（解析版）.docx

合肥一中滨湖校区2024～2025学年度第一学期

高二数学素质拓展训练（一）

考试用时：90分钟满分：120分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称点坐标为.

故选：C.

2.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.

【详解】对于A，设，即，解得，

所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；

对于B，设，无解，

所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；

对于C，设，解得，

所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；

对于D，设，解得，

所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.

故选：B.

3.空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.

【详解】

如图，连结，因，点为的中点，则，

于是，.

故选：B.

4.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得.

【详解】由题意可得，

设，

即有，

即可得，解得，即，

即向量在基底下的斜坐标为.

故选：A.

5.已知，则向量在向量上的投影向量是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量.

【详解】因为，则向量在向量上的投影为，

所以向量在向量上的投影向量是.

故选:C．

6.设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值．

【详解】，，，点在直线上运动，

可设，

，，

，

当时，取得最小值，

.

故选：B．

7.如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可.

【详解】在平行六面体中,

四边形是平行四边形,侧面是正方形,

又是的交点,

所以是的中点,

因为,,,

所以，

所以

，

所以

又，

所以

，

可得,，

所以异面直线与的夹角的余弦值为.

故选：A.

8.边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（）

A.1 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，设，

则，

所以，则，

因为，又，

所以，即，

所以，

又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，

所以的最大值是.

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.若，则向量，的夹角是锐角

B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C.若对空间中任意一点O，有，则四点共面

D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面

【答案】BC

【解析】

【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可.

【详解】对于A，当，夹角为时，，故A错误，

对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量，

若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确，

对于C，因为，

所以，

所以四点共面，故C正确，

对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误

故选：BC

10.已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（）