福建省福州市精师优质高中联盟2024-2025学年高二上学期入学质量检测数学试题.docx

准考证号：姓名：（在此卷上答题无效）

2024~2025学年第一学期福州市精师优质高中联盟高二年级入学质量检测

数学试卷

（考试时间：120分钟；总分：150分）

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1已知，，且，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

2.若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（）．

A.关于xOz平面对称 B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 D.关于坐标原点对称

3.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

4.如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）

A. B. C. D.

5.平行六面体中.则=（）

A. B. C. D.

6.已知空间向量，则向量在向量上投影向量是（）

A. B. C. D.

7.如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（）

A B. C. D.1

8.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（）

A.直线AB的一个方向向量为

B.线段AB的长度为3

C.平面α的法向量中

D.向量与向量夹角余弦值为

10.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（）

A.异面直线与所成角为

B.平面

C.三棱锥的体积不变

D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为

11.在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（）

A.点的轨迹长为 B.的最小值为

C. D.三棱锥体积的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知，则______．

13.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．

14.在侧棱长为正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为_____________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，.

（1）以为基底表示；

（2）若，且，，，求.

16.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．

（1）证明：平面平面．

（2）求二面角的余弦值．

17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．

（1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由；

（2）求点到平面的距离；

（3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．

18.如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；

（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．

19.2024年8月7日，神舟十六号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑，我校小林同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加新学期入学质量检测的你们编就了这道题目，如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆与圆柱底面相切于四点，且圆与与与与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且.已知圆柱，底面半径为.

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；

（3）求二面角的余弦