1.6函数的连续性.ppt

1.6函数的连续性

学习目标

1.函数连续性的定义；

2.连续函数的运算与初等函数的连续性；

3.闭区间上连续函数的性质；

1.6函数的连续性

1.6.1函数连续性的定义

1.增量的概念

定义1如果变量u从它的初值u1变到终值u2,终值与初值之差u2u1,称为变量u的增

量，记作uu2u1.

y

yf(x0x)f(x0)

y称为函数的增量，y的几何意义如图：

yf(x)

y

x

Ox0x0xx

1.6函数的连续性

例1.6.1设函数yx21,求适合下列条件的x和y.

(1)当x由1变到1.5；（2）当x由1变到1x.

解：

(1)x1.510.5,

yf(1.5)f(1)2.2511.25;

(2)x(1x)1x

yf(1x)f(1)(1x)212x(x)2

1.6函数的连续性

2.函数yf(x)在点x0的连续性

定义1.21设函数yf(x)在点x0的某领域内有定义，如果当自变量x在x0的增量

x趋近于零时，函数yf(x)相应的增量yf(x0x)f(x0)也趋于零.即

limy0，或limf(x0x)f(x0)0.

x0x0y

则称函数f(x)在点x处连续.

0yf(x)

y

x

Ox0x0xx

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2.函数yf(x)在点x0的连续性

令x0xx,则当x0时，有xx0,得

yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)

即f(x)f(x0)y

故当y0时有f(x)f(x0).因而limy0可改写为

x0

limf(x)f(x0)

xx0

定义1.22设函数yf(x)在点x0的某个领域内有定义，若

limf(x)f(x0)

xx0

则称函数yf(x)在点x0处连续。

1.6函数的连续性

例1.6.2证明函数yx21在点x1处连续.

证明

函数yx21在点x1的领域内有定义.

limf(x)lim(x21)2,又f(1)2.

x1x1

故limf(x)f(1),知函数yx21在点x1连续。

x1

(1)函数yf(x)在点x0处有定义，即函数值f(x0)存在；

（2）极限limf(x