第3章 勾股定理全章复习攻略与检测卷(2个定理1个应用2种思想)(教师版).docx

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第3章勾股定理全章复习攻略与检测卷

【目录】

倍速学习三种方法

【2个定理】

1.勾股定理

2.勾股定理逆定理

【1个应用】

勾股定理及逆定理的应用

【2种思想】

1.分类讨论思想

2.方程思想

【检测卷】

【倍速学习三种方法】

【2个定理】

1.勾股定理

1.勾股定理

(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:a=,b=及c=.

(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.

2.勾股定理的证明

(1)勾股定理的证明方法有很多种,教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法,然后再利用面积相等证明勾股定理.

(2)证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

1.(2022春?尤溪县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°,BE分别交AC,AD于点E、F,连接CF.

(1)判断△BCF的形状,并说明理由;

(2)若AF=BC,求证:BF2+EF2=AE2.

【分析】(1)先根据等腰三角形三线合一的性质得BD=5,由勾股定理计算可得AD的长,由等腰直角三角形性质得DF=5,最后由线段的差可得结论;

(2)如图2,作辅助线,构建全等三角形,证明△CHB≌△AEF(SAS),得AE=CH,∠AEF=∠BHC,由等腰三角形三线合一的性质得EF=FH,最后由勾股定理和等量代换可得结论.

【解答】(1)解:△BCF为等腰直角三角形.

理由:∵AB=AC,AD⊥BC,

∴BD=CD,

∴AD垂直平分BC,

∴BF=CF,

∴∠BCF=∠CBF=45°,

∴∠CFB=180°﹣45°﹣45°=90°,

∴△BCF为等腰直角三角形;

(2)证明:在BF上取一点H,使BH=EF,连接CH,

在△CHB和△AEF中,

∴△CHB≌△AEF(SAS),

∴AE=CH,∠AEF=∠BHC,

∴∠CEF=∠CHE,

∴CE=CH,

∵BD=CD,FD⊥BC,

∴CF=BF,

∴∠CFD=∠BFD=45°,

∴∠CFB=90°,

∴EF=FH,

Rt△CFH中,由勾股定理得:CF2+FH2=CH2,

∴BF2+EF2=AE2.

【点评】本题考查的是勾股定理,全等三角形的性质和判定,等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定,第二问有难度,正确作出辅助线是关键.

2.(2022春?庐江县期中)将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,使点A、E、D在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明勾股定理.

【分析】先推出△BEC是直角三角形,然后根据S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC,代入字母整理化简,即可证明结论成立.

【解答】证明:由已知可得,

Rt△BAE≌Rt△EDC,

∴∠ABE=∠DEC,

∵∠ABE+∠AEB=90°,

∴∠DEC+∠AEB=90°,

∴∠BEC=90°,

∴△BEC是直角三角形,

∴S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC,

∴=,

∴=,

∴a2+b2=c2.

【点评】本题考查勾股定理的证明,解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形.

2.勾股定理逆定理

(1)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

说明:

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形,作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.

注意:要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.

3.(2022春?瑞金市期中)(1)在Rt△ABC中∠ACB=90°,AB=5,AC=4,求BC的长.

(2)在△ABC中,AB=,AC=2,BC=3,判断△ABC是否是直角三角形.

【分析】(1)根据勾股定理得出BC=,再代入求出答案即可;

(2)先分别求出两小边的平方和和最长边的平方,再看看是否相等即可.

【解答】解:(1)由勾股定理得:BC===3;

(2)∵AB=,AC=2,BC=3,

∴AB2=()2=13,AC2+BC2=22+32=4+9=13,

∴A

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