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湍流——世纪难题

看一看我们生活的周围曾经熟悉的或曾经看见过的现象，比如天

空的积云或者海浪的起伏翻滚，或许见到过的袅袅炊烟，或从香烟头

升起的一缕轻烟在空气中扩散开来的奇妙图案，或者宣泄的瀑布激起

的浪花和涡旋，千姿百态，在激流中飞逝这些都和湍流有关，什么

是湍流呢？

烟羽

云

近地层的雾

1883年雷诺（O.Reynolds）的圆管水流实验演示了流体随着来

流速度的增加由规则的流动转变为紊乱的流动，引起当时科学界的很

大兴趣。进而，雷诺对具有粘性的流体的牛顿方程，也就是Navier

（1827）-Stokes（1845）方程进行了平均处理（1889），意想不到

的是比方程数目多出一个未知函数，出现了闭合问题，显示了求解N-

S（Navier-Stokes）方程的极大困难，从而吸引了包括当时的著名力

学家在内的许多研究人员的兴趣。当然，真正投身于其中的仍然是很

少的几位流体力学大家。

当人们认识到N-S方程的非线性项不能用已知的数学方法求解，

平均方法又遇到很难理解的闭合问题，这样，人们便开始寻求其他的

途径。在傅里叶变换盛行的时期，统计模式和谱方法就成为研究湍流

的主要数学工具，自然也成为解决实际问题的有效方法。不过，数学

家们对于这种似乎“零敲碎打”的做法并不热衷。例如，他们想要知

道是：如果N-S方程的定解条件是光滑的，那么，其解的光滑性是否

永远得以保持，还是在有限时间之后出现奇性？研究湍流的一些科学

家，例如雷诺，泰勒（G.I.Taylor），冯.卡门(vonKarman)和亨茨（J.

O.Hinze）等人论及湍流时，无一例外地认为它是一种不规则的流动，

自然也就重视它的统计平均特性。实际上，湍流基本方程（即雷诺方

程）的封闭性问题已经耗去了许多力学家的精力和大量时光，各种平

均方法陆续提出，包括一些参数化方法在内，可是，取得成就的自然

是极少数研究者。

这一百多年来，随着科学技术的进步，探测方法的改进和完善，

新的测量仪器的出现，特别是计算机科学的飞速发展，超级计算机的

大量涌现，云计算的发展，使得各种数值模式得以实现，湍流研究也

取得了可喜的进展。然而，我们对于湍流本质的了解，仍然是凭实验

和观测，也就是凭经验的，只有为数不多的几种湍流预测是从理论上

推导出来的。流体力学家把湍流定义为一个连续的不规则流动或者一

个连续的不稳定状态。例如，在紊乱的空气或河流里，流体任何一点

的运动速度和方向，是不断地和不规则地变化着，而流体却沿着固定

的方向继续流动，湍流在平稳的层流中的发展演化是一个连续的过程，

起初的一个或几个不稳定会激起湍流，它继续增强直到更高程度的不

稳定，最后完全发展成湍流—发达湍流。也就是说，流体力学家想要

知道的是一个平稳流动的失稳如何导致湍流的转捩，湍流完全形成后

的动力学特性是什么，工程科学家则希望了解如何控制湍流而降低能

耗和阻力。

数学家关注湍流的动因则是另一回事，他们的心愿是直接面对N-

S方程，获得完美漂亮的解析解，那种依靠计算机程序求解的问题，例

如四色问题，1976年K.I.阿佩尔和W.哈肯用电子计算机找到了一个

由1936个可约构型组成的不可免完备集，在美国数学会通报上宣布证

明了四色问题。对于这样的结果，数学家即使认可，也总感到美中不

足，对于数学家追求的标准而言，相差太远了。正因为如此，1998年

由商人兰顿·克雷(LandonT.Clay，资助者)和哈佛大学数学家亚瑟·杰

夫(ArthurJaffe)创立的克雷数学研究所(ClayMathematicsInstitute,

简称CMI)，向世界各国知名的数学家征集著名的数学难题，并在

2000年5月24日公布了征集到的千禧年七个经过一个世纪仍未解决

的难题（NP问题、霍奇猜想、庞加莱猜想—已经由俄罗斯数学家格

里高利·佩雷尔曼解决，黎曼假设、杨-米尔斯方程的质量缺口、

Navier-Stokes方程的求解和贝赫与斯维纳通-戴尔猜想）。

这七个选题被研究所认为是“对数学的发展有中心意义的重大难

题”。解答其中任何一题的第一个人将获得一百万美元奖金，克雷数

学研究所的悬赏，参考了