专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）（学生版）.docx

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专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.等腰三角形的性质（重点）

知识点2.等腰三角形的判定方法（重点）

知识点3.等边三角形及其性质（难点）

知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点）

知识点5.含30°角的直角三角形的性质（拓展）

【方法二】实例探索法

题型1.等腰三角形中的分类讨论问题

题型2.利用“等边对等角”的性质进行证明

题型3.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明

题型4.等腰三角形的性质与判定的综合

题型5.等边三角形性质的应用

题型6.等边三角形的性质和判定的综合运用

题型7.直角三角形知识在实际生活中的应用

题型7.等腰三角形的性质与判定的综合

题型8.等腰三角形或直角三角形中的规律探究

【方法三】仿真实战法

考法1.等腰三角形的性质

考法2.等腰三角形的判定

【方法四】成果评定法

【学习目标】

探索等腰三角形的轴对称性，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力。

探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理。

探索等边三角形的性质定理及判定定理。

会利用基本作图作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。

在“操作一条件一归纳一证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力。

【知识导图】

【倍速学习五种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.等腰三角形的性质（重点）

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

知识点2.等腰三角形的判定方法（重点）

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用．

【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()

A．5个B．4个C．3个D．2个

【变式】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有()

A．3个B．4个C．5个D．6

【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

知识点3.等边三角形及其性质（难点）

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

【例4】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点）

（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．

该定理可以用来判定直角三角形．

【例5】（2022秋?鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90