专题08勾股定理（2个知识点3种题型2种中考考法）（教师版）.docx

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专题08勾股定理（2个知识点3种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理（重点）

知识点2.勾股定理的验证（难点）

【方法二】实例探索法

题型1.利用勾股定理求线段的长度

题型2.与勾股定理有关的面积计算

题型3.利用勾股定理说明线段的平方关系

【方法三】仿真实战法

考法1.用勾股定理求线段的长

考法2.与勾股定理有关的面积计算

【方法四】成果评定法

【学习目标】

感受探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。

能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长（只限于常用的数），能应用已有的数学知识验证勾股定理。

经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展有条理的思考于表达能力，从中感受勾股定理的文化价值。

【知识导图】

【倍速学习五种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理（重点）

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

知识点2.勾股定理的验证（难点）

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

【方法二】实例探索法

题型1.利用勾股定理求线段的长度

【例1】（2022秋?常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，则AC的长为（）

A．2n B．2n2 C．4n D．4n2

【分析】由勾股定理得AC2＝AB2﹣BC2，把BC、AB代入化简即可求得AC2，再根据二次根式的性质即可求解．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，

由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

∴AC2＝AB2﹣BC2

＝（n2+1）2﹣（n2﹣1）2

＝（n2+1+n2﹣1）（n2+1﹣n2+1）

＝4n2，

∴，

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理、二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

【变式1】（2022秋?南京期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）

A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5

【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面积公式得S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，即可得出结论．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵CD⊥AB，

∴S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，

∴CD＝＝＝2.4，

故选：A．

【点评】此题考查了勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【变式2】（2022秋?南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长为．

【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据勾股定理列式计算得到答案．

【解答】解：连接BE，

由勾股定理得，BC＝＝＝3，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，AD＝DB＝，

则CE＝4﹣AE＝4﹣EB，

在Rt△CBE中，BE2＝CE2+BC2，即BE2＝（4﹣BE）2+9，

解得BE＝，

∴AE＝BE＝，

故答案为：．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

题型2.与勾股定理有关的面积计算

【例2】（2021秋?常熟市校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）

A．50 B．16 C．25 D．41

【分析】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可．

【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，

∴CD2+BD2＝BC2＝25，

∴阴影部分的面积＝25+25＝50，

故选：A．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

【变式】（2022秋?工业园区校级月考）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的