专题09勾股定理的逆定理（2个知识点3种题型2种中考考法）（教师版）.docx

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专题09勾股定理的逆定理（2个知识点3种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理的逆定理（重点）

知识点2.勾股数（重点）

【方法二】实例探索法

题型1.勾股定理的逆定理的应用

题型2.勾股定理及其逆定理的综合应用

题型3.勾股定理的逆定理在实际生活中的应用

【方法三】仿真实战法

考法.勾股定理的逆定理

考法2.勾股数

【方法四】成果评定法

【学习目标】

掌握勾股定理的逆定理，并能指出与勾股定理的区别。

能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，知道勾股数的含义。

经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理与演绎推理的能力。

【知识导图】

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理的逆定理（重点）

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

【例1】如图，在四边形ABCD中，，，，，，求证：∠C=90°．

【详解】解：如图，连接，

∵，，，

∴,

∵，，

∴,

∴是直角三角形，且．

【变式】如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．

【解答】解：∠BAC是直角．理由如下：

∵AB2＝12+22＝5，

AC2＝22+42＝20，

BC2＝52＝25，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形．

∴∠BAC是直角．

知识点2.勾股数（重点）

勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

【例2】（2022秋?泰兴市期末）下列四组数中，是勾股数的是（）

A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52

C．3，4，5 D．

【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+b2＝c2，称为勾股数．由此判定即可．

【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；

B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；

C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；

D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点评】此题考查勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

【变式1】（2022秋?盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）

【分析】它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．

【解答】解：由题意得：a2+1442＝1452，

a2＝1452﹣1442，

a＝17．

故答案为：17．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理．

【变式2】（2022秋?铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．

【分析】先证明a、b、c均为正整数，再证明a2+b2＝c2，可得结论．

【解答】证明：∵m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，

∴a、b、c均为正整数，

又（2mn）2+（m2﹣n2）2＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2，

∴a2+b2＝c2，

∴a、b、c为勾股数．

【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．熟记勾股数的定义是解题的关键．

【变式3】．（2022秋?工业园区校级期中）如果直角三角形的三边的长都是正整