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一张图，带你进入数学世界

文章来源：新原理研究所

（ID：newprincipia）

——尤金·维格纳

谈起数学时，你的脑海中会浮现出什么？是复杂的几何形状、繁

琐的数值运算、难解的方程、未解的猜想，还是…….？在面对什么是

数学这个问题上，我们尽量保持比较广的定义，它包括所有数量、几

何和逻辑相关的领域。或许一个最直观的定许是——数学是数学家所

从事的研究领域。

那么，数学家究竟都在研究什么呢？或者说数学是由哪些部分组

成的？传统上，我们可以将数学分为两大类：研究数学本身的纯数学

和应用于解决现实问题的应用数学。但是这种分类法并不十分清晰，

许多领域起初是按照纯数学发展的，但后来却发现了意想不到的应用。

许多领域之间也有着非常紧密的关系，因此，如果要精确地为数学分

类的话，应该是一个复杂的网络。

而在本文中，我们将会带领读者简单地了解数学的五大部分：数

学基础、代数学、分析学、几何学和应用数学。

数学可大致分为五大部分，每一个分支中又包含着许多的子领域。

图片来源：NPI

数学基础

数学基础研究的是逻辑或集合论中的问题，它们是数学的语言。

逻辑与集合论领域思考的是数学本身的执行框架。在某种程度上，它

研究的是证明与数学现实的本质，与哲学接近。

数学基础图片来源：NPI

01

数理逻辑和基础

数理逻辑是这一部分的核心，但是对逻辑法则的良好理解产生于

它们第一次被使用之后。除了在计算机科学、哲学和数学中正式地使

用了基础的命题逻辑之外，这一领域还涵盖了普通逻辑和证明论，最

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终形成了模型论。在此，一些著名的结果包括哥德尔不完全性定理以

及与递归论相关的丘奇论题。

代数学

代数是对计数、算术、代数运算和对称性的一些关键的概念进行

提炼而发展的。通常来说，这些领域仅通过几个公理就可定义它们的

研究对象，然后再考虑这些对象的示例、结构和应用。其他非常偏代

数的领域包括代数拓扑、信息与通信，以及数值分析。

代数学图片来源：NPI

01

数论

数论是纯数学中最古老、也是最庞大的分支之一。显然，它关心

的是与数字有关的问题，这通常是整数或有理数（分数）。除了涉及

到全等性、可除性、素数等基本主题之外，数论现在还包括对环与数

域的非常偏代数的研究；还有用于渐近估计和特殊函数的分析方法和

几何主题；除此之外，它与密码学、数学逻辑甚至是实验科学之间都

存在着重要的联系。

02

群论

群论研究的是那些定义了可逆结合的“乘积”运算的集合。这包

括了其他数学对象的对称集合，使群论在所有其他数学中占有一席之

地。有限群也许是最容易被理解的，但矩阵群和几何图形的对称性同

样也是群的中心示例。

03

李群

李群是群论中的一个重要的特殊分支。它们具有代数结构，但同

时也是空间的子集，并且还包含几何学；此外，它们的某些部分看起

来就像欧几里德空间，这使得我们可以对它们进行解析（例如求解微

分方程）。因此李群和其他拓扑群位于纯数学的不同领域的收敛处。

04

交换环和交换代数

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