初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15 全等三角形.pdf

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题

15全等三角形

专题15：全等三角形

全等是指两个几何图形之间的一种关系，其中最基本的关

系是点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系。

全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是

解决有关线段、角等问题的一个出发点。证明线段相等、线段

和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用

到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法

称为全等三角形法。

我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，

而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、

翻折、旋转等变换而成的。了解全等变换的这几种形式，有助

于发现全等三角形、确定对应元素。善于在复杂的图形中发现、

分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关

共边、公共角的以下两类基本图形：

1.三角形

2.四边形

例题与求解

例1】考查下列命题：

①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；

②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相

等的两个三角形全等；

③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对

应相等的两个三角形全等；

④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两

个三角形全等。

其中正确命题的个数有（）

解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例。

例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的

延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB。

求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ。

解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明

∠PAQ＝90°。

例3】如图，已知AD为△ABC的中线，求证：AD＜

(ABAC)。

解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基

本工具，关键是设法将AB，AC，AD集中到同一个三角形中，

从构造2AD入手。

例4】如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、

∠DBA，CD过点E。

求证：AB＝AC＋BD。

解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短

法）是证明这类问题的基本方法，即在AB上截取AF，使AF

＝AC，以下只要证明FB＝BD即可，于是将问题转化为证明

两线段相等。

例5】

如图1，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，

E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α。

1)若直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上，

请解决下面两个问题：

①如图2，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF，

EFBE-AF；

②如图3，若0°∠XXX180°，请添加一个关于∠α与

∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这

两个结论；

2)如图4，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，

请提出EF，BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求

证明）。

解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找

△BCE≌△CAF应满足的条件。对于（2）可用归纳类比方法

提出猜想。

例6】

如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，

∠XXX∠ADC=45°。

求证：CD=AB。

解题思路：由已知易得∠CAB=30°，∠XXX°，

∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由特殊度数可联想到特

殊三角形、共线点等。

AB能力训练

A级

1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=40，AD是∠BAC

的平分线交BC于D，且.

2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过

B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=3cm，

CE=4cm，则DE=5cm。

3.如图，△ABE和△AC