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拓扑学尤承业答案

【篇一：点集拓扑学】

工业大学数学学院

预备知识

1.点集拓扑的定义

《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学

专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学

（pointsettopology），有时也被称为一般拓扑学（general

topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定

义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：

对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及

早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上

抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源

点集拓扑学产生于19世纪。g.康托尔建立了集合论，定义了欧几里

得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结

构的重要结果。1906年m.-r.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的

研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍

（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版

（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月

第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年

2月第一版

2

第一章集合论初步

在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的

“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合

的基数等方面的知识等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已

经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研

究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关

公理集合论的专著。

1.1集合的基本概念

集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共

同特点的个体构成的集体。例如我们常说“正在这里听课的全体学生

的集合”,“所有整数的集合”等等．集合也常称为集。

集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）

构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个

学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素

也常称为元，点或成员．

集合也可以没有元素．例如平方等于2的有理数的集合，既大于1

又小于2的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们

称之为空集，记作?。此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单

点集．

用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样），是

定义集合的一个重要方式．此外，我们还通过以下的方式

｛x︱关于x的一个命题p}

表示使花括号中竖线后面的那个命题p成立的所有元素x构成的集

合．集合表示方式中的竖线“︱”也可用冒号“:”或分号“;”来代

替．此外，也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表

示这个集合．

我们常用：

n表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；z表示全体整数构

成的集合，称为整数集；q表示全体有理数构成的集合，称为有理

数集；r表示全体实数构成的集合，称为实数集。

我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、偏序（自反、反对称、

传递）、运算以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给

出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，

我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡

儿积这个概念。

3

??

读为x叉乘y。其中(x,y)是一个有序偶，x?y，x称为(x,y)的第一个

坐标，y称为(x,y)的第二个坐标．x称为x?y的第一个坐标集，y称

x?y的第二个坐标集．集合x与自身的笛卡儿积x?x称为x的2重

（笛卡儿）积，通常简单记作x2.（有序偶的定义请参考书本）

1.2集合的基本运算

（略。。。）

1.3关系

定义1.3.1设x，y是两个集合，如果r是x与y的笛卡儿积x?y的

一