2025届江苏省南京市第一中学高三暑期阶段性测试数学试卷.docVIP

2025届江苏省南京市第一中学高三暑期阶段性测试数学试卷

一、单选题

(★★★★★)1.若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（）

A．能构成素域当且仅当是素数

B．

C．是最小的素域（元素个数最少）

D．

(★★★)2.“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★★)3.已知复数z满足，则中不同的数有（）

A．4个

B．6个

C．2019个

D．以上答案都不正确

(★★★★★)4.若单位向量满足，向量满足，则（）.

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)5.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）

A．1007

B．1009

C．2014

D．2018

(★★★★★)6.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★★)7.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲?乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲?乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲?乙两人训练的轮数至少为（）

A．27

B．24

C．32

D．28

(★★★★★)8.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（）

A．

B．

C．数列是递增数列

D．

二、多选题

(★★★★★)9.如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则（）

A．平面

B．二面角随着的减小而减小

C．当时，五面体的体积最大值为

D．当时，存在使得半径为的球能内含于五面体

(★★★★★)10.已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（）

A．若，则

B．的最小值为

C．的内心为，到轴的距离为

D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆

(★★★★★)11.已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（）

A．是偶函数

B．

C．

D．

三、填空题

(★★★)12.是双曲线，则的范围为_______．

(★★★★★)13.若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是_____________．

(★★★★)14.黎曼猜想由数学家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题

（1）__________；（其中表示不超过的最大整数，.）

（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则__________.

四、解答题

(★★★★★)15.已知函数

(1)讨论的单调性.

(2)证明:当时,

(3)证明:

(★★★★★)16.有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，