2025届江苏省南京市高三学业水平调研考试数学试卷.docVIP

2025届江苏省南京市高三学业水平调研考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，则的真子集个数为（）

A．5个

B．6个

C．7个

D．8个

(★★)2.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★★)3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（）

A．79

B．80

C．81

D．82

(★★)4.“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)5.若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)6.设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（）

A．2024

B．2023

C．2022

D．2021

(★★★★)7.已知双曲线，在双曲线C上任意一点处作双曲线C的切线（），交C在第一、四象限的渐近线分别于A、B两点．当时，该双曲线的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（）

A．

B．

C．

D．1

二、多选题

(★★★)9.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

B．存在点P，使得平面

C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分

D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为

(★★★)10.芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：，）

A．

B．

C．

D．取得最大值时，M的估计值为54

(★★★★)11.麦克斯韦妖(Maxwell’sdemon)，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量x所有取值为1，2，…，n，且，，定义X信息熵，则下列说法正确的是（）

A．当时，

B．当时，若，则与正相关

C．若，则

D．若，随机变量y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则

三、填空题

(★★)12.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________．

(★★★)13.已知抛物线与抛物线在第一象限的交点为点A，抛物线与直线(e为自然常数)在第四象限的交点为点B，点O为坐标原点，则的面积为________．

(★★★)14.已知函数满足，且，则______．

四、解答题

(★★★)15.已知函数.

(1)若函数在处有极值，求的值；

(2)若函数在内单调递减，求b的取值范围．

(★★★★)16.4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．

(1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；

(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；

（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．

(★★★★)17.如图，已知四边形是矩形，平面，且，M?