3.2.1 函数的单调性（精讲）（原卷版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdf

3.2.1函数的单调性（精讲）

一.增函数与减函数

1．增函数与减函数的定义

前提条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I

∀x，x∈D，xx

1212

条件

都有f(x)f(x)12都有f(x)f(x)12

图示

结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减

当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，当函数f(x)在它的定义域上单调递减

特殊情况

我们就称它是增函数时，我们就称它是减函数

（1）定义中x，x有三个特征：

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一是x，x同属于一个单调区间；

12

二是x，x是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；

12

三是x与x有大小，通常规定x＜x，但也可规定x＜x.

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(2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I.

(3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减．

(4)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.

(5)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接.

2．函数单调性的运算性质

若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质．

(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．

(2)若a为常数，则当a＞0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a＜0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性．Q

（3）在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：

f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)

增增增不能确定单调性

增减不能确定单调性增

减减减不能确定单调性

减增不能确定单调性减

二．函数的最大值与最小值

最大值最小值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有

条件

f(x)≤Mf(x)≥M

∃x∈I，使得f(x)＝M00

结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值

几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标

(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x，使得f(x)等于最值.00

(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x))，“任意”两个字不可省略.00

(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个.

(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意