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导数解答题培优一一极值点偏移问题
知识整合：，已知函数/U)的图象的顶点的横坐标是极值点沏，若式X)=C的两
根的中点刚好满足出三强=沏，即极值点在两根的正
中间，也是说极值点没有偏移.此时函数/(X)在X
=沏两侧，函数值变化快慢相同，如图(1).(无偏移，左右对称，二次函数)
若/(孙)二/(42)，则的+%2二240.
(1)
2.若土土土力°,则极值点偏移,
2
此时函数/(x)在％=沏两侧，函数
值变化快慢不同,如图⑵(3).
(左陡右缓，极值点向左偏移)(左缓右陡，极值点向右偏移)
若/(工1)=4*2)则x+x2x.若/(4)=/(x)，则«1+%22«0-
1202
(2)⑶
典例:已知/(x)=封11%一；如2-X
,meR.若/(x)有两个极值点』，々，且玉/，
2
求证：演々e(e为自然对数的底数).
解法一：齐次构造通解偏移套路
2
证法1：欲证xwe,需证In%1+lnx2.
2
若〃x)有两个极值点看，即函数/(x)有两个零点.又f(x)=lnx-mx，所以，为，
W是方程/(力=0的两个不同实根.
In%—/wc=0解得加=E%+In々
于是，有}
Inx-mx=0X+工2
22{
JlnXj-mX]=0
另一方面，由得Ing-In%=m(x—xj,
[lnx-mx=02
22
Inx-Inx,_Inx+Inx
从而可得，2}2
九2一%X+%
1
1+强]In强
(lnx-lnXj)(x+xj
2
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