专题2.3 勾股定理中的经典题型（十大题型）（原卷版）.pdfVIP

专题2.3勾股定理中的经典题型（十大题型）

重难点题型归纳

1.最短路径问题与翻折问题

【题型1与长方形有关的最短路径问题】

【题型2与圆柱有关的最短路径问题】

【题型3与台阶有关的最短路径问题】

【题型4将军饮马与最短路径问题】

【题型5几何图形中翻折、旋转问题】

2.实际应用

【题型1梯子滑落问题】

【题型2树枝旗子折断问题】

【题型3航海是否有影响问题】

【题型4风吹荷花问题】

【题型5垂美四边形问题】

【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：

几何体中最短路径基本模型如下：

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直

角三角形，利用勾股定理求解

垂美四边形

（1）构造直角三角形解决问题；

（2）垂美四边形

【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，

则①AB²＋CD²＝AD²＋BC².②S四ABCD＝AC·BD

【题型1与长方体有关的最短路径问题】

【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂

在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿

着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为

20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．

A．10B．50C．10D．70

【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为

15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿

盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）

A．10cmB．25cmC．5cmD．5cm

【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为

20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到

点B，需要爬行的最短距离是（）

A．5B．25C．D．35

【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与

点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要

爬行的最短距离为（）

A．B．5cmC．4cmD．

【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的

中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食

物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）

A．B．C．D．

【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体

中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的

最短路程是（）

A．B．C．D．

【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分

别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长

度为（）

A．12B．15C．18D．21

【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，

高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂

蚁爬行的最短路径长为（）厘米．

A．8B．10C．12D．13

【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长